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1、第五章、现代谱估计 - Read第五章、谱估计 研究二阶平稳随机过程特征,功率谱密度,揭示随机过程中所隐含的周期及相邻 的谱峰等有用信息。则要用有限长的N个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱 密度,谱估计的方法。此种估计是建立在时间平均的方法之上并假定具有遍历 性。经典谱估计，线性、非参数化方法:周期图法相关图法等。采用经典的傅里 叶变换及窗口截断。对长序列有良好估计。现代谱估计,非线性、参数化方法:最 大似然估计最大熵法AR模型法预测滤波器法ARMA模型等。对短序列的估 计精度高与经典法相互补充。是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、 信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术,新学
2、科。应用广泛发展迅速。1807-Fourier Transform,x,n,l,2,.N1890sSchusterPeriodogram 周期图 N 21,j,j2,jN,(),xe，xe，？，xe12N N ,若处有正弦信号与噪声叠加在处周期图出现峰值00 1930-Wiener-Kinchine定理广义谐波分析。定义自相关函数与功率谱并证 明两者互为傅氏变换。1958-Blackman-Tukey-BT法-由通信工程观点测量功率谱观测数据，自相关估 计，乘窗函数，傅氏变换一功率谱1965-Cooley-TukeyFFT重提周期图法广泛 使用的经典法11967一现代谱估计,Burg,最大熵谱
3、估计，地震，线性预测1968-Parzen-自回归 AR谱估计法1971-Van Den Bos-证明最大熵谱估计与AR谱估计法等价。自此开始了现代 谱估计的深入研究:MA, ARMA模型等构成现代谱估计的参量法、还有非参量法 1969Capon最大似然谱估计 经典谱估计，现代谱估计，完整的谱估计理论长数据序列,必需应用经典谱估计,性能良好短数据序列，现代谱估计，估计精度分辨度大大高于经典法。因BT法及周期图 法,无限长序列开窗截断,有限长序列。 数据开窗、自相关开窗,频域发生“泄漏” 即功率谱的主瓣能量泄漏到旁瓣中导致弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所湮没 造成谱的模糊。改进窗函数，抑制旁瓣，损失
4、谱的分辨度。 短序列，谱分辨度的极 限，1/序列长度。现代谱估计适用于短序列的情况非线性运算发展很快新方法层出不穷。 80年代利用信息论的熵谱估计法多谱，高阶谱，估计及多维谱估计等。小波、 分数维等。 ?5，1、谱密度意义一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号若其绝对可积或其能量有限即：2，E，x(t)dt，(5，1) ，则x(t)的连续傅氏变换存在由下式给出：2X(f)，x(t)exp(，j2，ft)dt，(5，2) ，根据Parseval能量定理有：22，E，x(t)dt，X(f)df，(5，3)X(f)由上式可见信号能量E等于信号频谱模值平方在整,(f),X(f),(5,4)个频域
5、上的积分故称为信号的能谱密度。当x(t)为广义平稳过程时其能量通常是无限的则需研究其功率的频域上的分布即功率密度。对于平稳随机过程谱分析是采用自相关函数:,(,),Ex(t，,)x*(,),(5,5) xWiener-Kinchine定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：,j,(,),(,)ed,(5,6) ,xx,1j,(,),(,)ed,(5,7) ,xx,2,x,O,n,N,l离散形式,为平稳、零均值序列，其自相N,(k),Ex(n)x(n, k),(5,8)关(协方差)函数为:,(k),(5,9),若有：k，,jk,(,),(k)e,(5,10),则功率谱密度为：k,3,(,)是以0对
6、称周期为2,。反变换为：,1jk,(k),(,)ed,k,0,1,2.(5,11),2, 其自相关函数的估计由时间平均函数给出： N,k,l，(k),x(j)x(j, k),k,N,(5,12), NNj,0 功率谱的估计为：,jk,(,),(k)e,(5,13)NN, k,1,0,n,N,1,(d(n),(5,14),若定义矩形窗 O,else,即加窗截断为有限长序列则有：,1八，(k),d(n)x(n)d(n, k)x(n, k),(5,15), NNk, 功率谱的估计可写成：,， 1,(),jn,jn，k,， (,)d(n)x(n)ed(nk)x(nk)e,N,N,n,n,将m=n+k代
7、入上式得：1，()，X(,)X(),X *( )X()NNNNNNN12 ,X(,),(5,16)NN4N,1,jnX(,),x(n)e,(5,17),N 式中为数据序列n,0,x,0,n,N,1的离散傅氏变换DFT。N(5-13)式,间接法、相关图法(5-16)式,直接法、周期图法?5,2、相关图法(Correlogram Met hod)根据 Wiener-Kinchine 定理先估计 出有限长信号x(n)的自相关函数即：N,11,(m),x(n)x(n, m),m,N,1.(5,18), Nn,0：(m)易见是偶函数其长度为2N-1.实际计算时由于x(n)只m有N个观测值则对于每个延迟可
8、用的数据只有mN-1-个故可将上式改写成：N,l,m，(m),x(n)x(n, m),m,N,l.(5,19), Nn,0：(m)第二步求的DFT,得到x(n)的功率谱估计:M,jm,(,),(m)e,M,N,l.(5,20), ,mM由于功率谱是经自相关函数间接求出的故称间接法。：(m),(m)平稳随机过程的自相关函数应为：N,11,(m),limx(n)x(n，m).(5,21), N,Nn,05：(m)显见实际上自相关估计是仅用有限个数据得到的。 ：(m),(m)现在来讨论相关图法的性能即接近的程度。 估计偏差:N,l,m,E,(m),Ex(n)x(n, m),Nn,0，N,1,mN,m
9、1,Ex(n)x(n,m),(m).(5,22),NNn,0所以估计的偏为:mBias,(m),E,(m),(m),(m).(5,23)N故可得出结论:m,0为有偏估计。当N,m,有限偏,0故为渐进无偏估计。估计方差:推导过程略。(l=n-k)2Var,(m),EE,(m),(m),1N,mm,l12,1,(i),(i,m),(i,m).(5,24),NN(1)i,N,m八Var,(m),0 显然当 N,，又因为：limVar,(m),0.(5,25) N,八，(m),(m)故为的渐进无偏一致估计。显然N越大估计精度越高。当N,m均 较大时还可利用FFT进行计算。由自相关可通过式(5-20)计
10、算功率谱。M越大 分辨率越高但自相关的偏差及方差也相应增大通常取M=N/10N/5较好。6?5,3、周期图法(Periodogram Method),x,0,n,N,l定义:长度为N的实平稳随机信号序列N12I(,),X(,),(5,26)NN 的周期图为：NN,1,jnX(,),x(n)e,DFT，式中 Nn,0即直接由序列的DFT计算出来的。由于x(n)的DFT有周期性1(,)所以也有周期性。周期图法谱估计的性能，估计的偏：NN,m1N,m1,jn,EI(,),(m)e.(5,27),NX NNn,01(,)所以可见不是自相关的DFT故为有偏估计。N相当于无限长序列加长度为N的矩形窗：,1
11、EI(,),(,)Q(,)d,.(5,28)NN ,2,jk,(,),(k)e,(5,29),式中k,2, N11sin/2，2,jn,Q(),d(n)e,.(5,29),N,NNsin/2,，,n可以证明当N,时Q(,),2,(,2,k).(5,30), Nk,limEI(,),(,).(5,31)N ,N估计方差:2，N,sin,4VarI,(),1，.(5,32),Nx N,sin,，,2,x(n)EI(,),式中:假定为零均值、正态分布白噪Nx VarI(,)声序列。可见当N,时方差并不等于0。所以N 周期图法不是功率谱的一致估计。这主要是由于时域序列加窗后频域发生泄漏现象所以人们作了
12、许多改进 加各种形式的窗。另外还有分段求估计再求平均的平均周期图法平滑周期图法 等。比较好的窗有Blackman-Tukey窗:,1m，,1， cos,(m),.,m,M,(5,33)时域窗:而谱窗：，2M,0,else,11，W,(),D,(,)，D(,，)，D(,).(5,34)NMMM ,4MM2，1 sin(),2M, (), M 式中：D,sin功率谱的Blackman-Tukey估值为：,ll：，()，(，)，(，)，(，).(5,35)BT000MM442式中:M,jm,，(,)，I(,),(m)e,(5,36)NN,0 m，M但是抑制旁瓣都是以损失谱的分辨度为代价尤其是短数据序
13、列的情况更为 严重。故人们开始研究非线性、现代谱估计。谱估计的模型参量法是现代谱估计 应用最广泛的一种方法。先利用一些先验知识或假定建立一个模型或近似的模 型来表示所给定的抽样数据过程既是将信号看成是由白噪声通过一模型所产生的 数据x(n),这样就回避了 N个数据样本以外均为0的假设。，利用数据或自相关来 估计模型的参量,再将所求的变量代入该模型相应的理论功率谱表达式从而得到 谱估计。？5,4、自回归 AR 模型(Au toRegressive met hod)2=1白噪声,X(n) pAR滤波器1/A(z)选择适当模型-用观测数据估计模型参量-由模型求出功率谱22., x(n),(,),P(
14、,)/Q(,)若平稳信号具有有理功率谱，则 可用白噪声驱动的差 分方程模型来表示：x(n)，ax(n,1)，ax(n,2)，？ax(n,p),w(n),(5,37) 12p此式称为P阶自回归模型AR模型。9式中w(n)为白噪声，零均值方差未知的预测误差序列，22. .,Ew(n),0,Ew(n),n,(5,38) p式中P表示AR模型的阶次。对上述差分方程取Z变换：X(z),A(z),W(z),(5,39)p,iii 式中：A(z),l, az,X(z),xz,W(z),wz,iii,i1ii所谓自回归是指x(n),由过去值x(n-l),x(n-2).x(n-p)再加上白噪声序列 w(n)的线性组合回归到x(n)的预测值。于是可得传输函数为：,X(z)1,nH(z),1，h(n)z,(5,40, W(z)A(z)1n,显见H(z)是全极点滤波器(All poles filter)若其极点均位于单,h(n)位园内则该滤波器是稳定的最小相位的。是无限冲击响应序列IIR滤波器。，若限定阶次
