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1、圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质【例1】（江苏镇
2、江）如图，为O直径，为弦，且，垂足为（1）的平分线交O于，连结求证：为弧ADB的中点；（2）如果O的半径为，求到弦的距离；ABDEOCH填空：此时圆周上存在 个点到直线的距离为【解析】（1），又，又，为弧ADB的中点（2），为O的直径，又， 作于，则3.【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,O的半径为,弦心距为,弦长之间的关
3、系为.根据此公式,在、三个量中,知道任何两个量就可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为 【解析】由B、C分别是劣弧的三等分点知，圆心角AOB=BOC=COD,又，所以AOD=138.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有69.点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【强化练习】【1】.如图，O是ABC的外接圆，AD，CE分别是BC，AB上的高，且AD，CE交于点H，求证：AH=AO (1)如图，在O中，弦ACBD，OEAB，垂足为E，求证：OE=CD(2)如图，A
4、C，BD是O的两条弦，且ACBD，O的半径为，求AB2CD2的值。【2】（第25题）如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度数；（2）过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这
5、两个公共点叫做交点.2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；4. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。5. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定。【例1】
6、（甘肃兰州）如图，四边形内接于O，是O的直径，垂足为，平分DECBOA（1）求证：是O的切线；（2）若，求的长【解析】（1）证明：连接，平分，DECBOA，是O的切线（2）是直径，平分，在中，在中，的长是1cm，的长是4cm【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】（广东茂名）如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD（1）求证：ADB=E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由（3）当AB=5，BC=6时，求O的半径（4分）【解析】
7、（1）在ABC中，AB=AC，ABC=CDEBC，ABC=E，E=C又ADB=C， ADB=E（2）当点D是弧BC的中点时，DE是O的切线理由是：当点D是弧BC的中点时，则有ADBC，且AD过圆心O又DEBC， ADED DE是O的切线（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AFBC，且BF=BC=3又AB=5，AF=4设O的半径为，在RtOBF中，OF=4，OB=，BF=3， 3（4）解得，O的半径是【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例4】 已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点
8、，PC切半圆于C点，CDAB于D点，若PA：PC1：2，DB4，求tanPCA及PC的长。图7证明：连结CB PC切半圆O于C点，PCAB PP，PACPCB AC：BCPA：PC AB是半圆O的直径，ACB90 又CDAB ABADDB5 【例5】 已知：如图8，在RtABC中，B90，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D。求证：（1）AC是D的切线； （2）ABEBAC分析：（1）欲证AC与D相切，只要证圆心D到AC的距离等于D的半径BD。因此要作DFAC于F（2）只要证ACAFFCABEB，证明的关键是证BEFC，这又转化为证EBDCFD。 证
9、明：（1）如图8，过D作DFAC，F为垂足 AD是BAC的平分线，DBAB，DBDF 点D到AC的距离等于圆D的半径 AC是D的切线 （2）ABBD，D的半径等于BD， AB是D的切线，ABAF 在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFD BEDFCD，BEFC ABBEAFFCAC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类【例6】 已知：如图9，AB为O的弦，P为BA延长线上一点，PE与O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F
10、。求证：分析：由已知可得PE2PAPB，因此要证PF2PAPB，只要证PEPF。即证PFEPEF。证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED， CED90 点C为的中点，CDAB，CFGD PE为O切线，E为切点 PEFD，PEFCFG CFGPFE，PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB 证明二：如图91，连结AC、AE图91 点C是的中点，CABAEC PE切O于点E，PEAC PFECABC，PEFPEAAEC PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB【例7】 （1）如图10，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F（不与B重合），直线l
11、交O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD 图10 图101求证：BADCAG； ACADAEAF（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与O相切时，其它条件不变。 请你在图101中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 证明：（1）连结BD AB是O的直径，ADB90 AGCADB90 又ACDB是O内接四边形 ACGB，BADCAG 连结CF BADCAG，EAGFAB DAEFAC 又ADCF，ADEAFC ，ACADAEAF （2）见图101 两个结论都成立，证明如下： 连结
12、BC， AB是直径，ACB90 ACBAGC90 GC切O于C，GCAABC BACCAG（即BADCAG） 连结CF CAGBAC，GCFGAC， GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAE ACFE，ACFAEC， AC2AEAF（即ACADAEAF）说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。【强化练习】【1】（第22题）如图，O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是ACB的平分线与O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与O的位置关系，并说明理由【2】（第23题）如图，在ABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，O是BEF的外接圆（1）求证：AC是O的切线（2）过点E作EHAB于点H，求证：CD=HF【3】（第25题）如图，在O中，
