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1、二面角1.如图三棱锥 P-ABC中，PC平面ABC，PC = ，D是 BC的中点，且ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-ABC的大小。解：由已知条件，D是BC的中点P CD =BD =2 又ADC是正三角形 AD =CD =BD =2 D是ABC之外心又在BC上C ABC是以BAC为直角的三角形，D ABAC， 又 PC面ABC PAAB (三垂线定理)AB PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 PAC =30 2.如图在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BD
2、C为面的二面角的度数。EDBASC解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，且BDDC 则 EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a， 则 BC =SB =a 且 AC = 易证 SACDEC CDE =SAC =60 3. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。SRNMOBDPAC解：取OC之中点N，则 MNPO PO面ABCD MN面ABCD 且 MN =PO/
3、2 =2， 过 N 作 NRBD 于 R，连MR， 则 MRN即为二面角 M-BD-C的平面角 过 C 作 CEBD于S 则 RN =CE 在 RtBCD中，CDBC =BDCE DBAEC 4.如图ABC与BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。解：过 A作 AECB的延长线于E， 连结 DE， 面ABC面BCD AE面BCD E点即为点A在面BCD内的射影 EBD为ABD在面BCD内的射影 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60= AD = ， sinABD = 又 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD
4、-C与A-BD-C互补 二面角 A-BD-C的余弦值为。 5.已知正方体 AC，M、N分别是BB，DD的中点，求截面 AMCN与面ABCD，CCDD所成的角。DBDACBACMN解：设边长为a，易证 ANCN是菱形 且MN =，AC = AMCN = 由于AMCN在面ABCD上的射影即为正方形ABCD ABCD = 取CC的中点M，连结DM 则平行四边形DMCN是四边形AMCN在CCDD上的射影， DMCM = A6.如图 AC面BCD，BD面ACD，若AC =CD =1，ABC =30，求二面角的大小。解：作DFAB于F，CEAB于E， AC =CD =1 ABC =30 AD =，BC = ，DC AB =2， BD =F 在RtABC中，EB ， 同理 即所求角的大小为。
