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1、第12课时 异面直线（三） 扬中市第二高级中学 杨青松教学目标：熟练掌握反证法的证题步骤，会用反证法证明简单的问题，掌握异面直线的证明方法；通过对简单问题的证明，使学生掌握证题规律、方法和步骤，并从中学会认识事物、分析问题、转化矛盾. 教学重点：反证法、异面直线的证明教学难点：反证法、异面直线的证明. 教学过程：.课题导入师上节课我们在研究异面直线所成的角与异面直线间距离的定义的基础上，通过具体问题，讨论了异面直线所成角与异面直线的距离的计算.清楚了求角、求距离的关键是生甲求异面直线所成角的关键是找到一个恰当的点，通过平移，把异面直线所成的角化为相交直线所成的角，然后在含这个角的某一三角形中，
2、运用解三角形的知识，求得角的大小.生乙求异面直线的距离，关键是找到含公垂线段在内的某一三角形，仍是运用解三角形的知识，求得线段的长.生丙角所在的三角形，线段所在的三角形，都要能较好的联系已知，这两类问题解决的方法都是将空间问题化成了平面问题.师好！对这两类问题的解法，同学们都要切实增强化归意识，理清化归思路，具体问题具体分析，设法使所求与已知产生联系，寻求到好的解题途径.这节课我们来讨论异面直线的证明.新课讨论师关于异面直线的证明，常用反证法，请同学们回忆一下，反证法是怎样的一种推理方法？生反证法是通过否定命题结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的一种推理方法.师反证法证题的步骤是怎样的？生首先假
3、设结论的反面成立，其次在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾(与已知矛盾、与真命题矛盾、与定理公理矛盾、自相矛盾等)，第三否定假设肯定结论.师好！下面我们来看个例子.例1求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.师为了证题过程表述的方便，先把文字语言写成符号语言.生已知：a、A、B、Ba.求证：直线AB和a是异面直线.师观察原题、图形，已知、求证写得正确吗？生正确.师好.下面我们一起用反证法来给出证明.证明：假设直线AB和a共面于.即AB，a 于是A，Ba，B，Ba过a和B有且仅有一个平面于是与是同一平面，即由假设知A，A这与已知A矛盾假设错误，故直线AB与a是
4、异面直线.例2已知a，b，abA，c，ca，求证b、c是异面直线.师仍然采用反证法来证.请同学动手证明(教师巡视，发现有两种证明方法，指派各一人板书于黑板上).证法一：假设b、c共面于，则b，cAb，b，A，即c，AAa，ac，Ac，且c，A而经过直线c与其外一点A的平面有且只有一个.与重合.a，与重合，a.又b且abAa、b是内的两条相交直线.由已知，a、b是内的两条相交直线.而经过两条相交直线a、b的平面有且只有一个与重合，又与重合与重合，这与a矛盾.假设错误，故b、c是异面直线.证法二：假设b、c共面，则bc或b、c相交若bc，又ac，ab，这与abA矛盾.若bcP，又c，b，Pa，ac
5、P，这与ac矛盾.由上可知，b、c既不平行又不相交b、c是异面直线.师由上面两题的证明可以看出，在假设的基础上，按照正确的推理，都要推出矛盾，这是反证法证题必然出现的结果.之所以出现矛盾，原因都是假设错误，因而才有否定假设，才能肯定结论之说.至于究竟与什么矛盾，这要在假设的基础上，即把假设作为一个条件，理清思路，再去推理，千万不能漫无目标，信手做来.反证法证题三步曲，推出矛盾是反证法证题的关键所在.例3如图，不共面的三条直线a、b、c相交于点O，点Ma，点Nb，点Qb，N、Q不是同一点，点Pc. 求证：MN与PQ异面师请同学们来讨论、分析怎样进行证明？(学生讨论、分析之后让学生汇报讨论结果.汇
6、报时，要求其余学生注意听，待汇报完毕，再让其他学生补充，必要时，教师再作提示，直至分析完整为止.)证明：假设MN与PQ共面于，则M、N、P、Q， 又Q、Nb，b又Ob，O 又P，c同理a，a、b、c共面. 这与已知a、b、c不共面矛盾.假设错误，故MN、PQ是异面直线.课堂练习已知：平面=l，Al、Dl、AC，BD.求证：AC和BD是异面直线.证明：假设AC与BD共面于A、D、C既在内又在内，且A、D、C三点不共线与重合.A、B、D既在内又在内，且A、B、D三点不共线.与重合.综上与重合，这与l矛盾.假设错误，故AC和BD是异面直线.课时小结本节课我们讨论了异面直线的证明，应用的方法是反证法，
7、请同学们注意，反证法证题的三步曲是：第一步，假设结论的反面成立；第二步，在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾；第三步，否定假设，肯定结论.三步曲中，关键是第二步，它是反证法证题的核心所在，至于与什么矛盾，要认真做好分析，不能盲目乱推，造成到处碰壁的局面.关于哪些命题宜用反证法来证.这里又补充进了一个内容：异面直线的证明一般用反证法来证.课后作业(一)补充1.a、b是异面直线，且分别在平面、内，l.求证：a、b至少有一条与l相交.证明：假设a、b都与l不相交.a，l，al同理blab，这与a、b是异面直线矛盾.假设错误，故a、b中至少有一条与l相交.2.如图，a、b是异面直线，A、Ba，C、
8、Db，E、F分别是线段AC和BD的中点，判断EF与a、EF与b的位置关系，并证明你的结论.证明：假设EF与a共面于则EF，AB A、B、E、FEA、FB，则A、B、C、DCD，AB，即a、b共面这与已知a、b是异面直线矛盾.假设错误，故EF与a是异面直线.同理可证：EF与b也是异面直线3.求证：空间四边形的两条对角线是异面直线.已知：ABCD是空间四边形.求证：AC、BD是异面直线.证明：假设AC、BD不是异面直线，即AC、BD共面于则AC，BDA、B、C、D即A、B、C、D都在平面内.这与ABCD是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)相矛盾.假设错误，故AC、BD是异面直线.4.在正方体AB
9、CDA1B1C1D1中，P、Q分别是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.(1)求证：A1Q与D1P是异面直线；(2)求异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值.(1)证明：连结A1B、BC1、A1C1，则PA1B，QBC1 A1Q面A1BC1PA1B，A1B面A1BC1 P面A1BC1又D1面A1BC1，PA1Q.由过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线D1P与A1Q是异面直线.(2)解：设BQ的中点为R，连结PR，则PRA1QD1P与PR所成的锐角(或直角)为异面直线D1P与A1Q所成的角.连结D1R，在RtD1C1R中D1R2D1C12C1R2设正方体的棱长为a
10、.则D1R2a2(a)2a2(因为Q是BC1的中点，R是BQ的中点)在RtD1A1P中，D1P2D1A12A1P2a2(a)2a2在RtA1QB中，A1Q而D、R分别为A1B、BQ的中点PRA1QacosD1PR0.故异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值为 .5.S是矩形ABCD所在平面外的一点，SABC、SBCD、SA与CD成60角，SD与BC成30角，SAa.(1)求证：AD是异面直线SA、CD的公垂线段，并求SA与CD之间的距离；(2)求证：AB是异面直线SB、AD的公垂线段，并求SB与AD之间的距离.证明：(1)在矩形ABCD中，BCADSABC，SAAD. 又CDAD，AD是异面直线
11、SA与CD的公垂线段.其长度为异面直线SA与CD的距离.在RtSAD中，SDA是SD与BC所成的角 SDA30又SAa ADa.(2)在矩形ABCD中，ABCDSBCD，SBAB 又ABADAB是异面直线SB、AD的公垂线段.其长度为异面直线SB与AD的距离.在RtSBA中，SAB是SA与CD所成的角SAB60 又SAaABacos60a即直线SB与AD的距离为 a.(二)1.预习课本直线与平面的位置关系、直线和平面平行的判定至例1结束.2.预习提纲(1)直线和平面平行的定义是什么？(2)直线和平面的位置关系有几种？各有什么特征？(3)直线在平面外是不是可以断定直线和平面平行？(4)直线和平面的各种位置关系用图形语言怎样表示？用符号语言怎样表示？(5)直线与平面平行的判定定理是什么？(6)直线与平面平行应具备几个条件？
