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1、第17讲 等腰三角形与直角三角形考点1 等腰三角形与等边三角形等腰三角形概念有两条边 的三角形是等腰三角形.性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有 条对称轴.2.性质1：等腰三角形的两底角 (简写成“等边对 ”).3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 相互重合(简写成“三线合一”).判定等角对 .等边三角形概念有 条边相等的三角形叫做等边三角形.性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 ；3.等边三角形是轴对称图形，共有 条对称轴.判定1.三个角都 的三角形是等边三角形；2.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.考点2 直角三角形
2、概念有一个角是 的三角形叫做直角三角形.性质1.直角三角形的两个锐角 .2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 .4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的 等于斜边c的 ，即 =c2.判定1.有一个角是 或两个锐角 的三角形是直角三角形.2.如果三角形一边上的中线等于这条边的 ，那么这个三角形为直角三角形.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 等于第三边的 ，那么这个三角形是直角三角形.【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长. 1.求等腰
3、三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部. 2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.命题点1 等腰三角形的性质与判定例1 (2014丽水)如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，若AB=6，CD=4，则ABC的周长是 .【思路点拨】因为ABC是等腰三角形，利用三线合一可得BD=CD，即BC=2CD=8，从而求出ABC的周长.方法归纳：解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵
4、由一推二.1.(2014菏泽)如图，直线lmn，等边ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25,则的度数为( ) A.25 B.45 C.35 D.302.(2014河南)在ABC中，按以下步骤作图：分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，B=25，则ACB的度数为 .3.(2014益阳)如图，将等边ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得ACD，BC的中点E的对应点为F，则EAF的度数是 .命题点2 直角三角形例2 如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，E是AC中点，若DE
5、5，求AB的长.【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线，利用直角三角形的性质可以求出AC的长，从而求出AB的长.【解答】方法归纳：若题中已知直角三角形的中线长时，通常利用直角三角形的性质来求边长.1.如图，在RtABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( ) A.20 B.10 C.5 D. 2.在RtABC中，A90，B=60，BC6.则AB的长为 .3.如图，ABC中，B=60，C=30，AM是BC边上的中线，且AM=4.求ABC的周长.(结果保留根号)命题点3 勾股定理例3 (2013呼和浩特)如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，
6、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30 m，BC=70 m，CAB=120，请计算A，B两个凉亭之间的距离.【思路点拨】作一条高线CD，构造直角三角形，利用CAB=120和AC=30 m求出CD和AD；然后在RtCDB中利用勾股定理求出DB的长.【解答】方法归纳：利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形，作垂线构造直角三角形是解决这类问题的关键.1.(2014滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A.4，5，6 B.1.5，2，2.5 C.2，3，4 D.1，32.(2013安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
7、的树梢，问小鸟至少飞行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米3.(2014宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为12，则较长的对角线长度是 cm.4.某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长BC=20 cm，宽AB=16 cm的矩形纸片ABCD，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据步骤解答下列问题：(1)找出图中FEC的余角；(2)计算EC的长.第1课时 基础训练1.(2013毕节)已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为
8、( )A.16 B.20或16 C.20 D.122.(2013成都)如图，在ABC中，B=C，AB=5，则AC的长为( )A.2 B.3 C.4 D.53.(2014宜昌)如图，在ABC中，AB=AC，A=30,以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则ABD=( )A.30 B.45 C.60 D.904.已知：如图，lm，等边ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20，则的度数为( )A.60 B.45 C.40 D.305.如图所示，在RtABC中，C=90,A=30,BD是ABC的平分线，CD=5 cm,则AB的长为( )A.5 cm B. cm C.10
9、 cm D. cm6.(2014南充)如图，在ABC中，ABAC，且D为BC上一点，CDAD，ABBD，则B的度数为( )A.30 B.36 C.40 D.457.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm8.(2014乐山)如图，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D.则CD的长为( )A. B. C. D. 9.(2013绵阳)如图，AC、BD相交于O，ABDC，AB=BC，D=40，ACB=35，则AOD= .10.(
10、2013聊城)如图，在等边ABC中，AB=6，点D是BC的中点.将ABD绕点A旋转后得到ACE，那么线段DE的长度为 .11.(2013黔西南)如图，ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 度.12.(2013桂林)如图，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，则AE= .13.(2013莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 .14.(2014宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，
11、每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.(=1.4)15.(2014衡阳)如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F.求证：BEDCFD.16.(2014菏泽)在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB5，求线段DE的长.17.已知：如图，在RtABC中，BAC=90,点D在BC边上，且ABD是等边三角形.若AB=2,求ABC的周长.(结果保留根号)18.(2014襄阳)如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO
12、=DCO；BE=CD；OB=OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.19.如图1，ABC中，ABC、ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F.(1)请写出图1中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由.(2)如图2，ABC中ABC的平分线与ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F.这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由.第2课时 能力训练1.等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 .2.已知等腰ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，则ABC底角的度数为( )A.45 B.75 C.45或15或75 D.603.(2014荆门)如图，在第1个A1BC中，B30，A1BCB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2A1D，得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一
