《初中几何中常见辅助线的作法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中几何中常见辅助线的作法（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心
2、等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。基本作图很关键，
3、平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从已知出发作出辅助线：DABCEFMN例1已知：在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D点作DNCA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证AEFD
4、EN，则有AF=DN，进而有AF=（2）过D点作DMBF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=方法二：分析结论，作出辅助线ABDCE 例2：如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：ABAC=AEAD分析：要证ABAC=AEAD，需证（或），需证ABEADC（或ABDAEC），这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线ABCDEFM例3：过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E；求证：AEED=2AFF
5、B分析：已知D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AEED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DMEF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线：（1）有弦，作“垂直于弦的直径”ABCDEO例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD分析：过O点作OEAB于E，则AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BDABCDE12O（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例5：已知：如图，以ABC的AC边为直
6、径，作O交BC、BA于D、E两点，且，求证：B=C 分析：连结AD，由于AC为直径，则有ADBC，又，有1=2，由内角和定理得B=C（3）见切线，连半径，证垂直ABCDO123例6：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB分析：连结OC，由于CD为切线，可知OCCD，易证：1=2，又因为2=3，所以1=3，则可得AC平分DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7：已知，直线AB经过O上的一点，并且OA=OB，CA=CB；ABCO求证：直线AB是O的切线分析：连结OC，要证AB是O的切线，需证OCAB，由已知可证OACO
7、BC，可得OCA=OCB=900，结论得证。例8：已知，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直径，BC=CD+AB，ABCDOE求证：AD是O的切线分析：过O点作OEAD，垂足为E，要证AD是O的切线，只要证OE是O的半径即可，也就是说需要证OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在O上，AD是O的切线。（二）练习1、已知： 如图，在ABC中，ADDB，AEEC求证： DEBC，DEBC2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求证： EFBC，EF（ADB
8、C）3、已知：如图27.3.13所示,在ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF互相平分。4、如图：已知：AB为O的直径，弦CDAB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：AMD=FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径
9、）例1.如图，以RtABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求A的半径。解：过A作AHBD于H，则。BAAC，CAB=AHB=90。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如图，AB是O的直径,POAB交O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：。证明：过O作OCNP于点C，则。OCNP，POAB，POM=PCO=90。又OPM=CPO，OPMCPO，即。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有
10、直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径，OHAC于H，BH与OC交于E，若BH=12，求BE的长。解：连结BC。 AB为直径， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC， OHE=CBE，HOE=BCE，OHECBE，。例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CDAB于D, 求证:。证明：连结AC、BC。 AB为直径， ACB=90，1+2=90。又CDAB，ADC=CDB=90，1+3=90，3=2，BCDCAD，即。评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很
11、方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN为O的直径，AP是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求A的度数。解：连结OP，设A的度数为x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于点P，APOP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得x=30，A=30。例6.如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证1=2。证明：连结OC。DC切O于点C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2
12、。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A、B、C在O上（AC不过O点），若ACB=60,AB=6，求O半径的长。解：作直径AD，连结BD。ACB与D都是所对的圆周角，D=ACB=60。又AD是直径，ABD=90，。例8.如图，在锐角ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圆半径为R，求证：。证明：作直径CD，连结BD。CD为直径，CBD=90，。又A=D，即，同理可得，。评析：当题设
13、中未告诉有直角三角形但却含有30、45、60、90等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC。证明：过点A作O1与O2的公切线AM交BC于点M。MA和MB分别切O1于点A、B，MA=MB，同理可得MA=MC，MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，ABAC。例10.如图，A和B外切于点P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，若A与B的半径分别为r和3r,求：CD的长；B的度数。解：连结AB，连结AC、B
14、D，过点A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切线，C、D为切点，ACCD，BDCD。又AEBD，四边形ACDE为矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60。评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11.如图，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD。证明：连结AB。 AD为O1的直径，ABD=90，D+BAD=90。又C和BAO1都是O2中所对的圆周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=9
