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1、 热点探究训练(一)导数应用中的高考热点问题1(20xx全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上是增加的若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上是增加的，在上是减少的(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.2已知函数f(x)ex(x2axa)，其中a是常数(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围解(1)由f(x)ex(x2axa)可
2、得f(x)exx2(a2)x.2分当a1时，f(1)e，f(1)4e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为：ye4e(x1)，即y4ex3e.5分(2)令f(x)exx2(a2)x0，解得x(a2)或x0.6分当(a2)0，即a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)是0，)上的增函数，所以方程f(x)k在0，)上不可能有两个不相等的实数根8分当(a2)0，即a2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0，(a2)(a2)(a2)，)f(x)00f(x)a由上表可知函数f(x)在0，)上的最小值为f(a2).因为函数f(x)是(0，(a2)上的减函数，是(a2)，
3、)上的增函数，且当xa时，有f(x)ea(a)a，又f(0)A所以要使方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.12分3(20xx全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 【导学号：00090078】解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).1分()设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上是减少的，在(1，)上是增加的.3分()设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则f(x)(x1)(exe)，所以f(x)在(，)
4、上是增加的若a，则ln(2a)1，故当x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上是增加的，在(ln(2a)，1)上是减少的.5分若a，则ln(2a)1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上是增加的，在(1，ln(2a)上是减少的.7分(2)()设a0，则由(1)知，f(x)在(，1)上是减少的，在(1，)上是增加的又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且bln，则f(b)(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有两个零点.
5、9分()设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点()设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(1，)上是增加的又当x1时f(x)0，故f(x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上是减少的，在(ln(2a)，)上是增加的又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，).12分4(20xx郑州二次质量预测)已知函数f(x).(1)讨论函数yf(x)在x(m，)上的单调性；(2)若m，则当xm，m1时，函数yf(x)的图像是否总在函数g(x)x2x图像上方？请写出判断过程解(1)f(x)，2分当x(m，m1)时，f(x)0；当x
6、(m1，)时，f(x)0，所以函数f(x)在(m，m1)上是减少的，在(m1，)上是增加的.4分(2)由(1)知f(x)在(m，m1)上是减少的，所以其最小值为f(m1)em1.5分因为m，g(x)在xm，m1最大值为(m1)2m1.所以下面判断f(m1)与(m1)2m1的大小，即判断ex与(1x)x的大小，其中xm1.令m(x)ex(1x)x，m(x)ex2x1，令h(x)m(x)，则h(x)ex2，因为xm1，所以h(x)ex20，m(x)单调递增8分所以m(1)e30，me40，故存在x0，使得m(x0)ex02x010，所以m(x)在(1，x0)上是减少的，在上是增加的 ，所以m(x)m(x0)ex0xx02x01xx0xx01，所以当x0时，m(x0)xx010，即ex(1x)x，也即f(m1)(m1)2m1，所以函数yf(x)的图像总在函数g(x)x2x图像上方12分
