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1、利用空间向量求空间角备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题体会向量法在立体几何中的应用二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一
2、步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.四、教学重难点重点：用向量法求空间角线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题.五、教学过程（一）空间角公式1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线，的方向向量分别为,异面直线，所成的角为，则.2、线面角公式：设直线为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则.O3、面面角公式：设，分别为平面、的法向量，二面角为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.（二）典例分析OABCS如图，已知：在直角梯形中，面，且.求：（1）异面直线和所成的角的余弦值；（2）与面所成角的正弦值；（3）二面角的余弦值. 解
3、：如图建立空间直角坐标系，则，于是我们有，（1），所以异面直线和所成的角的余弦值为.（2）设平面的法向量，则，即取，则，所以，.（3）由（2）知平面的法向量，又平面，是平面的法向量，令，则有.二面角的余弦值为.（三）巩固练习1、在长方体中，点、分别，的中点，求：（1）异面直线和所成的角的余弦值；（2）与平面所成角的正弦值；（3）平面与平面所成的锐二面角的余弦值.解析：以为原点，分别以射线，为轴、轴、轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由于，所以，则，.（1），异面直线和所成的角余弦值为；（2）设平面的法向量，则有则，即令，则，所以，又设与平面所成的角为，则.（3）由（2）知平面的法向量，又平面，是
4、平面的法向量，令，则.故所成的锐二面角的余弦值为.2、如图所示，四棱锥，为边长为的正三角形，垂直于平面于，为的中点，求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的余弦值.解：（）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，因为AD=1，CD=，AC=2，所以ADCD，DAC=，ADBC， 则， ，异面直线AB与PC所成角的余弦值为（）设平面PAB法向量为=(x1，y1，z1)，可得令，则，又，设平面PCD法向量为，可得令，则=，则平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 （四）课堂小结1用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段
5、的向量2合理建立空间直角坐标系(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系易错防范1利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同2求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角（五）课后作业三维设计课时跟踪检测（四十八）
