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1、随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程为常数，,求的一维概率密度、均值和有关函数。解因，因此，也服从正态分布，因此，的一维概率密度为,均值函数 有关函数 22 设随机变量Y具有概率密度,令,求随机过程的一维概率密度及。解 对于任意，是随机变量的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法, 对求导得的一维概率密度，均值函数 有关函数. 若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验,定义随机过程 试求：（1)的一维分布函数；(2)的二维分布函数;()的均值，方差。解 （1）时，的分布列为 0 P 一维分布函数 时,的分布列为 - 2P 一维分布函数 （）由于互相独立,因此的分布列为 -1 2 0
2、 1 二维分布函数 (3) 24 设有随机过程,其中为常数,是互相独立且服从正态分布的随机变量,求随机过程的均值和有关函数。解 因独立，,因此，均值 有关函数2.5 已知随机过程的均值函数和协方差函数为一般函数,令,求随机过程均值和协方差函数。解 均值协方差 其他项都约掉了 .6 设随机过程，其中是常数,在上服从均匀分布，令 ,求和。解 而同理 运用三角积化和差公式因此，而 同理因此，27 设随机过程,其中是互相独立的随机变量,且具有均值为零,方差为1，求随机过程的协方差函数。解根据题意,因互相独立,均值为零,因此上面交叉乘积项数学盼望为零2 设为实随机过程,为任意实数，令 证明随机过程的均值
3、函数和有关函数分别为的一维和二维分布函数。证明 的取值为 2.9 设是一种周期为T的周期函数，随机变量在（0,T）上均匀分布,令，求证随机过程满足 证明 Y的密度函数为 2.13 设是正交增量过程,是原则正态随机变量，若对任意的,互相独立，令，求随机过程的协方差函数。解 因是正交增量过程,因此，有 （因独立,) （运用正交增量过程的结论）习题.1 设质点在区间0,4的整数点做随机游动，达到0点或4点后以概率停留在原处，在其他整数点分别以概率向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解 转移概率如图一步概率转移矩阵为二步转移概率矩阵为4.2 独立地反复抛掷一枚硬币,
4、每次抛掷浮现正面的概率为,对于，令，这些值分别相应于第-次和第n次抛掷的成果为（正,正）,(正,反）,（反,正)，（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转移概率矩阵。解 相应状态为 ，（正，反)，（反,正），(反,反),（不也许事件）（不也许事件)同理可得下面概率，,一步转移概率矩阵为二步转移概率矩阵为.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 试证 解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3,有同理有因此，.5 设为随机过程,且 为独立同分布随机变量序列，令 试证：是马尔可夫链。证明 只要证明满足无后效性，即即可。根据题意,由此知是的函数，由于是互相独立的随机变
5、量,因此，对任意的n，与互相独立。从而(因) （因与独立,条件概率等于无条件概率）.6已知随机游动的转移概率矩阵为 求三步转移概率矩阵及当时始分布为 时，经三步转移后处在状态3的概率。解 因此，4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下（1）(2)求下一、二个月的销售状态。解(1)(） 4 某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1畅销，状态2滞销)季节1 3 4 5 6 8 9 0 1 12销售状态1 1 2 2 1 1 2 2季节13 14 5 17 18 9 0 21 2 2销售状态 1 2 1 2 1 1 1以频率估计概率，求（)销售状态的初始分布，(2)三步转移概率矩阵及
6、三步转移后的销售状态的分布。解 状态1的个数为5个，状态2的个数为9个（1）因此，销售状态的初始分布为 （)求一步转移概率状态共有7个,状态共有7个，状态共有7个,状态共有个,因此,一步转移概率矩阵为,三步转移概率矩阵为三步转移后的销售状态分布为. 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条通道时，以概率随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。解 状态空间为 转移概率矩阵为习题66.1 设有随机过程,其中为常数，是在区间上服从均匀分布的随机变量，问与否为平稳过程。解 , 与t 无关因此是平稳过程。.设有随机过程，其中是均值为零、方差为的正态随机变量,求：（
7、1）的概率密度；(2）与否为平稳过程。解(1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量,对任意t，服从正态分布。，因此的概率密度为 , 的概率密度为 ， (2）,与t有关因此,不是平稳过程。6. 设有随机过程，其中是服从瑞利分布的随机变量,其概率密度为 是在上服从均匀分布且与互相独立的随机变量，为常数，问与否为平稳过程。解先求出瑞利分布的数学盼望和的数学盼望, 与t无关因此,是平稳过程。.4设有随机过程,其中是周期为T的实值持续函数,是在（0,)上服从均匀分布的随机变量,证明是平稳过程并求有关函数。解,为常数, 与t无关因此,是平稳过程。6.5 设是平稳过程，且互相独立，求的有关函数,与否为平
8、稳过程。解 因是平稳过程,它们的均值是常数、有关函数与t无关是的函数，又互相独立。因此, 是常数 与t无关因此，是平稳过程。.1 设正态随机过程具有均值为零，有关函数为,求给定t时的随机变量的协方差矩阵。解因是正态过程,且均值为零，有关函数与t无关,因此是平稳过程,则对任意给定的t，服从正态分布,，因此，,，,同理 ，因此，,，,，,，,因此协方差矩阵为.1 设随机过程和是单独且联合平稳随机过程,其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量,求和。解 因 因此 习题772 设平稳过程的有关函数，求的谱密度。解 7.3 设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量,求的谱密度。解 的概率密
9、度为74 已知平稳过程的有关函数，求谱密度。解 7. 当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出的谱密度为。证明 7.7 已知平稳过程的谱密度为,求有关函数。解 7.8 设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，是分布密度满足的随机变量,且互相独立，求证的谱密度为。证明 设是和的联合分布密度，因和互相独立，因此 ， （由于偶函数,=)又 比较上面两式,因此，.9设是单独且联合平稳的随机过程,试证:，。证明 只要证明即可，由互有关函数的性质7.1 设为平稳过程,令,为常数，试证 证明 7.1设是两个互相独立的平稳过程，均值都不为零，令，求和。解（因独立) .13设线性时不变系统输入一种均值为零的实平稳过程，其有关函数为，若系统的脉冲响应为,试求系统的输出过程的有关函数、谱密度及的互谱密度。解 先求, 现找出使的区间当时,的区间为当时,的区间为 因此， 7.1设一种线性系统由微分方程 给出，其中为常数，分别为输入平稳过程和输出平稳过程的样本函数,且输入过程均值为零，初始条件为零，求输出的谱密度和有关函数。解 令输入,则,将其带入方程 解出 因此, 又 ,再根据傅氏变换的线性性质
