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1、苏教版数学精品资料学业分层测评(二十)导数在实际生活中的应用(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为st32t2，那么速度为24的时刻是_秒末.【解析】由题意可得t0，且s4t24t，令s24，解得t3(t2舍去).【答案】32.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件.【解析】令yx2810，解得x9或x9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，)上是减函数， f(x)在x9处取最大值.【答案】93.已知某矩形广场面积为4万
2、平方米，则其周长至少_米.【解析】设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y0；当x200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米.【答案】8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为_.【解析】设圆锥的高为h cm(0h20)，则圆锥的底面半径r (cm)，VV(h)r2h(400h2)h(400hh3)，V(4003h2)，令V(4003h2)0，解得h.由题意知V一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】cm5.要
3、做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为12，则它的长为_、宽为_、高为_时，可使表面积最小.【解析】设底面的长为2x cm，宽为x cm，则高为 cm，表面积S22xx2x22x4x2(x0)，S8x，由S0，得x3，x(0,3)时，S0，x(3，)时，S0，x3时，S最小.此时，长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.【答案】6 cm3 cm4 cm6.(2016四川高考改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是_. 【导学号：24830
4、092】【解析】由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，ln x1)(0x11)，则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为yln x1(xx1)，即y1ln x1.则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为yln x2(xx2)，即y1ln x2.由l1l2，得1，x1x21.由切线方程可求得A(0,1ln x1)，B(0，ln x21)，由知l1与l2交点的横坐标xP.SPAB(1ln x1ln x21).又x1(0,1)，x12，01，即0SPAB1.【答案】(0,1)7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为_.【解析】设圆柱的高为2h，则底面圆的半
5、径为， 则圆柱的体积为V(R2h2)2h2R2h2h3，V2R26h2. 令V0，解得hR.h时，V单调递增，h时，V单调递减，故当hR时，即2hR时，圆柱体的体积最大.【答案】R8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8300170pp2.则最大毛利润(毛利润销售收入进货支出)为_.【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或 p1
6、30(舍去).因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】23 000元二、解答题9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】设圆柱体的高为h，底面半径为r，设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y3mr2m(r22rh).由Vr2h，得h，y4mr2(r0)，y8mr.令y0，得r.此时h4.该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中
7、总造价的最小值显然存在.当r时，y有最小值，即hr41时，总造价最少.10.(2016南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1x)，月平均销售量为a(1x2)件，则
8、月平均利润ya(1x2)20(1x)15元，所以y与x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0x1).(2)由y5a(42x12x2)0得x1或x2(舍)，当0x时，y0； 当x1时，y0，所以函数y5a(14xx24x3)(0x1)在x处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为2030(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 能力提升1.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_.【解析】设四角截去的正方形边长为x.铁盒容积V4(24x)2x，所以V4
9、(24x)28(24x)x4(24x)(243x)，令V0，得x8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_.【解析】依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x(0，0.0486).所以银行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，则y0.0972kx3kx
10、2. 令y0，得x0.0324或x0(舍去). 当0x0.0324时，y0；当0.0324x0.0486时，y0.所以当x0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.【答案】0.03243.如图342，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积最大值是_.图342 【解析】设CDx，则点C的坐标为，点B的坐标为.矩形ABCD的面积 Sf(x)xx(x(0,2).由f(x)x210，得x1(舍去)，x2，当x时，f(x)0，f(x)是递增的，当x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.【答
11、案】4.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足的函数关系是x2000，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格). (1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？【解】(1)由题意，得W2000sts2(t0)，当，即t时，W取得最大值，为，乙方获得最大利润时的年产量为吨.(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V元.t，Vst0.002t2. V， 令V0，得s20，当s20时，V0， V在(20，)上单调递减；当S20时，V0，V在(0,20)上单调递增.当s20时，V取得极大值，也就是最大值，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是20元.
