《人教版 高中数学【选修 21】第三章章末复习课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版 高中数学【选修 21】第三章章末复习课（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教版高中数学精品资料章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1几种空间向量之间的区别与联系(1)a与其相反向量a为共线向量(平行向量)(2)相等向量为共线向量(平行向量)，但共线向量(平行向量)不一定为相等向量(3)若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念一定要准确理解2向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点(1)ab0 a0或b0.(2)acab cb.(3)(ab)c a(bc)(4)abk a.3向量共线充要条件及注意点(1)对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2)注意点：l为经过已知点A且平
2、行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta.(3)坐标表示下的向量平行条件设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1，a2b2，a3b3(R)，这一形式不能等价于，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可以这样写4向量共面充要条件及注意点(1)若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(2)注意点：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy；空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式xyz(其中xyz1)，则点P与点A，B，C
3、共面5利用向量法求空间角的注意事项(1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别例如，若ABC的内角BAC，则与夹角为，而非.(2)特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小(3)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错专题一空间向量及其运算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础 例1沿着正四面体OABC的三条棱、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的
4、合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值解：如图所示，用a，b，c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1a，f22b，f33c，则ff1f2f3a2b3c，所以|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012cos 601423625，所以|f|5，即所求合力的大小为5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.归纳升华空间向量的运算有加、减、数乘和数量积的运算，有三角形法则、平行四边形法则、首尾相接的多边形法则，通过这些运算可以对向量多项式进行化简、整理、求值，可以用来解决共线、共面、平行、垂直等问题，向量
5、运算是解决数学问题的重要工具，应该熟练掌握，灵活运用在不利于建立空间直角坐标系的情况下，选择恰当的基底，通过基向量的运算解决数学问题是十分有效的数学方法，应当高度重视变式训练有下列命题：若，则A，B，C，D四点共线；若，则A，B，C三点共线；若e1，e2为不共线的非零向量，a4e1e2，be1e2，则ab；若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30.其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，若，则ABCD或A，B，C，D四点共线，故错；且，有公共点A，所以正确；由于a4e1e244b，所以ab，故正确；易知
6、也正确答案：专题二利用空间向量证明空间中的位置关系用向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数有机结合，给立体几何的研究带来了极大的便利利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等例2正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E、D1(0，0，1)，F、A(1，0，0)所以(1，0，0)，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由令y11，得m(0，1，2)又由令z21，
7、得n(0，2，1)因为mn(0，1，2)(0，2，1)0，所以mn，故平面AED平面A1FD1.归纳升华1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量2证明线面平行的方法：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明平面内存在一个向量与已知直线的方向向量共线3证明面面平行的方法：(1)转化为线线平行或线面平行处理；(2)证明两个平面的法向量是共线向量4证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直5证明线面垂直的方法：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直6证明面面垂直的方法：(1)转化为线线垂直
8、或线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直变式训练如图所示，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，PAAD，M，N分别为AB，PC的中点求证：(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.证明：(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAADa，ABb，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)因为M，N分别为AB，PC中点，所以M，N.所以.法一：(0，0，a)，(0，a，0)，所以.又因为MN平面PAD，所以MN平面PAD.法二：易知为平面PAD的一个法向量(b，
9、0，0)，所以0，所以，又MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)可知：P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)所以(b，a，a)，(0，a，a)设平面PMC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则，所以，令z1b，则n1(2a，b，b)设平面PDC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则，所以令z21，则n2(0，1，1)，因为n1n20bb0，所以n1n2.所以平面PMC平面PDC.专题三利用空间向量求空间角空间角包括：异面直线所成的角(线线角)、直线与平面所成的角(线面角)、二面角(面面角)用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度
10、，是近年来高考的一个方向例3如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC边上的高沿AD把ABD折起，得如图所示的三棱锥，其中BDC90.(1)证明：平面ABD平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值(1)证明：因为折起前AD是BC边上的高，所以当ABD折起后，ADDC，ADDB.又因为DBDCD，所以AD平面BDC.因为AD平面ABD，所以平面ABD平面BDC.(2)解：由BDC90及(1)，知DA，DB，DC两两垂直不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0
11、，3，0)，A(0，0，)因为E为BC中点，所以E.所以，(1，0，0)所以cos(，).故与夹角的余弦值是.归纳升华1(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成的角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小：如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n22对于折叠问题，应注意确定图形在折起前后不变的量，如角的大小不
12、变、线段长度不变、线线关系不变，然后根据折叠后所得几何体的特征建立空间直角坐标系，进一步用坐标法解决相关问题变式训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1.则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.专题四探索性问题探索性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论
13、这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证若导出合理的结论，则存在性也随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性例4如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值？若不存在，试说明理由(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、
14、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图，设底面边长为a，则高SOa.于是S，D，C，B，0，故OCSD.从而ACSD.(2)解：由题意知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量.设所求二面角为，则cos ，故所求二面角PACD的大小为30.(3)解：存在假设在侧棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量且，设t，则t由0，得t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.归纳升华在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题这些问题都属探索性问题
