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1、45 因式分解的四种方法(讲义)课前预习1. 平方差公式：完全平方公式：2. 对下列各数分解因数：210=；315=；91=；102=3. 探索新知：(1) 993 -99能被100整除吗？ 小明是这样做的：993 一 99 = 99 x 992 一 99 x 1=99 x (992 -1)=99 x (99 +1)(99 -1)=99 x 9 800=99 x 98 x100 所以993一99能被100整除(2) 893一89能被90整除吗？你是怎样想的？3) m3 一 m 能被哪些整式整除？知识点睛1. 叫做把这个多项式因式分解2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：；（2）
2、公式法两项通常考虑，三项通常考虑运用公式法的时候需要注意两点：；（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找，然后再考虑或者（4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：x2 + （p + q）x + pq 二（x + p）（x + q）3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“”；因式分解是有范围的，目前我们是在范围内因式分解精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是 一3x2y2 = 一3 - x2 - y2 ；(a + 3)(a 3)二 a2 一 9 ； a2 一 b2+1 = (a + b)(a 一 b) +1 ； 2mR + 2mr = 2m(R + r
3、)； x2 一 xy + x 二 x(x 一 y)； y2 - 4y + 4 二(y - 2)2. m 2 一 4 = (m + 2)( m 一 2)；2. 因式分解（提公因式法）：(1) 12a2b 一 24ab2 + 6ab ；(2) a3 a2 + a ；解：原式=解：原式=(3) (a一b)(m +1) (b一a)(n一 1)；解：原式=(4) x(x y)2 y(y x)2 ；(5 ) xm + xm1 .解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）（1） 4x2 一9；解：原式=(2) 16x2 + 24x + 9 ；解：原式=(3) 4x2 + 4xy y2 ；(4) 9(m +
4、 n)2 (m n)2 ；解：原式=解：原式=(5) (x + 3y)2 一2(x + 3y)(4x一3y) + (4x一3y)2 ；解：原式=(6) x2(2x一5) + 4(5 一2x)；解：原式=8） x4 一 y4 ；解：原式=(7) -8ax2 + 16axy 一8ay2 ；解：原式=(9) a4 一2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 一4a2b2.解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：(1) 2ax 一 lOay + 5by 一 bx ；( 2 )m2 一 5m 一 mn + 5n ；解：原式=解：原式=(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；解：原式=(4
5、) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式=(5) 9ax2 + 9bx2 -a-b ；解：原式=(6) a2 -2a + 4b-4b2.解：原式=(2) x2 + x-6 ；解：原式=5. 因式分解(十字相乘法)(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式=(3) x2 + 2 x + 3 ；解：原式=(4) 2x2 + x 1 ；解：原式=(5) 2x2 + 5x-12 ；(6) 3x2 + xy 一2y2 ；解：原式=解：原式=(7) 2x2 +13xy +15y2 ；(8) x3 -2x2 -8x .解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：(1) a2 - 8ab + 1
6、6b2 - c2 ；解：原式=2) 4xy2 -4x2y- y3；解：原式=(3) 2(a -1)2 -12(a -1) +16 ；(4) (x + 1)(x + 2)-12 ；解：原式=解：原式=(5) (2a 一b)2 + 8ab ；解：原式=(6) x2 一 2xy + y2 一 2x + 2y +1.解：原式=因式分解的四种方法（随堂测试）1. 下列因式分解正确的是(A. a + a3 = a (1+ a2)C a2 4 = (a 2)2)B 2a 4b + 2 = 2(a 2b)D a2 2a +1 = (a 1)22.用适当的方法因式分解.(1) 2 x2 4 x + 2 ；解：原
7、式=(2) x2 + 3x + 2 ； 解：原式=(5) x3 + 3 x2 +18 x ；(6) m3 + 2m2n + mn m .（3） x2y y ；解：原式=(4) a2 2ab + b2 4c2 ； 解：原式=解：原式=解：原式=)x2 + x 5 = (x 2)( x + 3) +1(1)x 2 +1 = x x + I x丿 结果正确的是( )A. x(3x + y)(x一3y)C. x(3x- y)3. 因式分解：(1) 3a2b + 6ab2 一 3ab ；解：原式=因式分解的四种方法（习题）巩固练习1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（A. 9 x 2 y 3 z =
8、 3 x 2 z - y 3B.C. a2b + ab2 = ab（a + b）D.2.把代数式3x3 - 6x2y + 3xy2因式分解，B. 3x(x2 2xy+ y2)D. 3x(x y)2(2) y(x y)(yx)；解：原式=3) 4a2 4a + 1；4) x25x +6；解：原式=解：原式=5) 16 8(x y) + (x y)2 ；( 6) x4 1；解：原式=解：原式=7) (a2 +1)2 4a2 ；8) ab5bc2a2 +10ac；解：原式=解：原式=(9) 3m(2x一 y)2 一3mn2 ；解：原式=(10) ab - ac + be - b 2 ；解：原式=(1
9、1) a2 b2 + 2a + 2b ；(12) (x + 2)(x + 4) + x2 4 ；解：原式=解：原式=13) a 3 + a 2 a 1 ；解：原式=14) a2 4a + 4b2；解：原式=15) a2 + 2ab + b2 2a 2b +1 ； 解：原式=16) x2 2x 8；17) a2 ab6b2；解：原式=解：原式=18) 2x2 3x +1；解：原式=19) x3 4x2 12x ；解：原式=(20) (x + y)2 + (x + y) 2 ；解：原式=21) (x1)(x2)6 解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的 方法：若多项
10、式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑 若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用 进行因式分解 若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑或. 若多项式项数较多，则考虑.每日一练(一)(2) 1 -4x2 一4y2 + 8xy ；1. 用适当的方法因式分解(1) ax2 - 4ax - 12a ；(3) a2 -9b2 + 2a-6b ；(4) x3y 一4x2y + 4xy ；5) 4x2-2x- y2 - y；(6) x3 一 xy2 一 x + y ；7) x2 - y2 - 2 y -1；(8 ) 2ab4 + 2ab2 - 4a ；(9) (x2 一3x)2 + 3(x2 一3x) + 2 ；(10)x4 - 7x2 + 6 ；(11) (x2 + 2x)2 7(x2 + 2x) 8 ；12 )13 )(a b)2 + 3(a b)(a + b) 10( a + b)2a2 4ab + 4b2 6a + 12b 7 ；14 )15 )(x1)(x2)6
