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1、教学设计教学课件多媒体素材学习评价扩展资源您现在的位置 教学设计教学课时建议：本小节新授课可分为四课时，其中第一课时主要是介绍圆的有关概念；第二课时介绍了圆的对称性，着重探究垂径定理及其推论；第三课时探究了弧、弦、圆心角之间的关系；第四课时则探究了圆周角定理及其推论具体的教学设计如下：24.1圆教学设计一、教学目标知识技能:1了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系.数学思考:1在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生
2、的观察、总结及概括能力.问题解决:1在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题. 2能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题.情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神.二、重难点分析教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法
3、所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆
4、，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.三、学习者学习特征分析圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.四、教学过程（一）创设情境，引入新课圆是一种和谐、美
5、丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，墨经一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的？为什么不做成椭圆形和四边形的呢？这一节我们就一起来学习圆的有关知识，并且来解决上述的疑问.（二）合作交流，探索新知1观察图形，引入概念(1）圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象（多媒体图片引入） （2）观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ （3）圆的概念： 让学生根据上面所找出
6、的特点，描述什么样的图形是圆.（学生可以在讨论、交流的基础上自由发言；绝大部分学生能够比较准确的描述出圆的定义，部分学生没有说准确，在其他学生带动下也能够说出）在学生充分交流的基础上得到圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径（多媒体动画引入）（4）圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”（5）从画圆的过程可以看出：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合（把一个几何
7、图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，在几何中十分重要，因为这实际上就是关于轨迹的概念圆，实际上是“到定点的距离等于定长的点”的轨迹事实上，保证了图形上点的纯粹性，即不杂；保证了图形的完备性，即没有漏掉满足这种条件的点同时符合，保证了图形上的点“不杂不漏”）（6）由车轮为什么是圆形，让学生感受圆在生活中的重要性问题1，车轮为什么做成圆形？ 问题2，如果做成正方形会有什么结果？（通过车轮实例，首先让学生感受圆是生活中大量存在的图形教学时给学生展示正方形车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳）把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚
8、动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理2.与圆有关的概念（1）连接圆上任意两点的线段（如线段AC）叫做弦.（2）经过圆心的弦（如图中的）叫做直径（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC，）叫做优弧（4）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（5）能够重合的两个圆叫做等圆（容易看出半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等）（6）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（对于和圆有关的这些概念，应让
9、学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别例如，直径是弦，但弦不一定是直径半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆即不是劣弧，也不是优弧）3.垂直于弦的直径（1）创设情景引入新课问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？）（2）圆的对称性的探究活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（学生可能会找到1条，2条，3条教师不要过早地去评判，应该把机会留给学生，让他们在互相
10、交流中，认识到圆的对称轴有无数多条，要鼓励学生表达自己的想法）得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴（3）垂径定理及其逆定理垂径定理的探究如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？? （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？（旨在通过这样复合图形的轴对称性探索垂径定理，教学时应鼓励学生探索方式的多样性引导学生理解，证明垂径定理的基本思路是：先构造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦；然后将直径看做圆的对称轴，利用轴对称图形对应元素相等的性质得出平分弧的结论）（多媒体动画引入）垂径定理：垂直于弦的直径平分
11、弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的逆定理的探究（仿照前面的证明过程，鼓励学生独立探究，然后通过同学间的交流得出结论）垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧解决求赵州桥拱半径的问题4.弧，弦，圆心角（1）通过实验探索圆的另一个特性如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（多媒体图片引入）（教科书展示了一种证明方法叠合法，教学时要鼓励学生用多种方法探索图形的性质，学生的想法未必完善，但只要有合理的成分就应给予肯定和鼓励）结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，所对的弦也相等（2）对（1）中结论的逆命题的探究在同圆或等
12、圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_， 所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角_，所对的弧_（教学时仍要鼓励学生用多种方法进行探索）（3）应用新知，体验成功例. 如图，在O中，=，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC.5.圆周角（1）创设情境引入概念如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？概念：顶点在圆上，并且两
13、边都与圆相交的角叫做圆周角（意在引出同弧所对的圆心角与圆周角，同弧所对的圆周角之间的大小关系教学时要引导学生分析圆周角有两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦）（2）圆的相关性质动手实践活动一：分别量一下所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？活动二：再分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？（利用一些计算机软件，可以很方便的度量圆周角，圆心角，有条件的话可以试一试）得到结论：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半为了进一步研究上面发现的结论，在O任
14、取一个圆周角BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和BAC的顶点A由于A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：在圆周角的一条边上；在圆周角的内部；在圆周角的外部（学生解决这一问题是有一定难度的，应给学生留有时间和空间，让他们进行思考引导学生观察后两种情况，让学生思考：这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题这是解决问题时常用的策略）由此得到圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半进一步我们还可以得到下面的推论：半径（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等
