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1、分类号:O172.2类别:公开本科f院设计）题目论广义积分的收敛性（中、英文）The Convergence of Improper integral作者姓名付美.专业名称数学与应用数学 学科门类理学.指导教师杨衍婷提交论文时间_二0一三年五月成绩等级评定摘要广义积分主要包括：无穷限的广义积分、无界函数的广义积分以及含参变量 的广义积分.无界函数的广义积分又可称为瑕积分.广义积分是定积分突破条 件限制的一个推广.定积分的的主要特点是积分区间是有界点集且被积函数在 积分区间上有界，但这些限制条件不能解决实际中的有些问题，于是突破这两条 限制的束缚便得到其推广形式即广义积分.广义积分又称为非正常积
2、分或反常 积分.大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过 程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件. 本文就针对敛散性论述广义积分.首先简述无穷限广义积分和无界函数广义积 分的定义及性质；其次探讨两类广义积分的敛散性，讨论几种比较常用的判别方 法和技巧，并举例说明验证；最后讨论含参变量的广义积分的一致收敛性和欧拉 积分.关键词:广义积分；收敛；发散；一致收敛性AbstractImproper integral mainly includes improper integral of infinite range, improper inte
3、gral of unbounded function and improper integral of parameter. Improper integral of unbounded function can be called defect integral. Improper integral is a generalization of breaking out the constraints for definite integral. The mainly characteristics of the definite integral is that the integral
4、region is bounded and integrand is bounded in the region, but some of these restrictions cant solve the problem actually. So breaking through bondages of two limits can get the improper integral. Improper integral is also known as abnormal integral or improper integral. Most of improper integral can
5、not be calculated directly. Although some of them can able to compute its value, the calculation process is very troublesome. So judging the convergence of the improper integral becomes a decisive condition to evaluating improper integral. This article mainly discussion the convergence of the improp
6、er integral. At the first, the definition and properties of improper integral of infinite range and improper integral of unbounded function is discussed. Secondly, the divergence and convergence of the two improper integrals are studied. At the same time, several discriminant methods and techniques
7、are given, with taking some examples for validation. The last, the uniform convergence of improper integral ofKey words:parameter and Euler integral can be discussed.Improper integral; Convergence; Divergence; Uniformconvergence目录摘要IAbstractII1引言12无穷限广义积分12.1无穷限广义积分的定义12.2无穷限广义积分的性质22.3无穷限广义积分敛散性的判别
8、32.3.1无穷限广义积分的定义判别法32.3.2无穷限广义积分的比较判别法42.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式42.3.4无穷限广义积分的柯西判别法52.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则62.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法72.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法72.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法83瑕积分83.1瑕积分的定义83.2瑕积分的性质93.3瑕积分的敛散性判别法93.3.1瑕积分的定义判别法103.3.2瑕积分的比较判别法103.3.3瑕积分的柯西收敛准则113.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法123.3.5瑕积分的狄利克雷判别法123.
9、3.6瑕积分的阿贝尔判别法124含参变量的广义积分134.1含参变量广义积分的定义134.2含参变量广义积分的一致收敛性134.2.1含参变量广义积分的柯西判别法134.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法134.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法144.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法145欧拉积分165.1第一类欧拉积分（Beta函数）165.2第二类欧拉积分（Gamma函数）16总结17参考文献18谢辞191引言无穷限广义积分积分（简称无穷积分）和无界函数广义积分（简称无界函数 积分或瑕积分）统称为广义积分，广义积分又称非正常积分或者反常积分.单从 定积分f f （x）d
10、x可看出积分区域是有界的，被积函数在积分区域上是有界的.积 b分f sinxdx，re-x2dx就不满足这两个限制条件，约束限制了定积分的应用，因 x0-r此就要摆脱定积分在这两方面的限制，将定积分的概念加以推广，把积分区间有 界拓展到无穷限区间积分和被积函数在积分区间上有界拓展到无界函数积分，即 瑕积分，这就是广义积分或非正常积分（或反常积分）.近几年，微积分的发展十分迅速，而广义积分是随着高等数学的发展而发展 起来的近代数学，是高等数学中重要的一个概念，且作为数学中的一类基本命题, 为其他学科解决了许多计算上的难题，广泛应用于各种问题，也对其发展起到了 促进作用广义积分在实际解决问题中有重
11、要的作用，从而对广义积分敛散性的 探讨就十分有必要了.关于广义积分的敛散性的判别在很多文献中都有介绍，广 义积分敛散性的判别方法与技巧也多种多样，本论文通过广义积分的定义及其性 质来探讨它的敛散性，主要针对无穷限积分和无界函数积分的敛散性及含参变量 广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.2无穷限广义积分2.1无穷限广义积分的定义前面学过了函数/（x）在有界区间la,b上的定积分f f （x）dx （黎曼函数），其 a积分区间有限，被积函数在积分区间上有界，但在实际问题的解决中把有界这一 限制予以解放，推广到无穷限的积分区间和被积函数无界的积分，是目前我们还 模糊的，这些统称为广义积分，广义积
12、分又称为非正常积分（或反常积分）.广 义积分可分为无穷积分与瑕积分.定义1设函数/（x）在区间a,+r）内，及对x a有定义，且在任何有限区间 L, u内可积，若积分f f （x）dx在u a下有意义，当积分在u Tr时的无穷极限函数 f (x)在区间a, +8)无穷积分，记作f f (x)dx = limf (x)dx.若limf f (x)dxufgau fgaf f (x)dx 发散.类似可定义f (x)在区间(g,b上的无穷积分， ff (x)dx = lim ff (x)dx，若glim f f (x)dx的极限存在，则积分f f (x)dx收敛，否则发散.g当(g a b a)也收
13、敛，且有性质2如果积分f f (x)dx,f f (x)dx均收敛，对Vk , k g C，可推知积分1 2 1 2kf (x)dx + f k f (x)dx的和也是收敛的，则由定积分的可加性可以得出:11 2 2性质3如果积分f f (xkx,J g (xkx均收敛，则积分(x) 土 g (x)bx也收敛,aaa且有ff (x) 土 g(x)dx = f f (x)dxf g(x)dx.aaa性质4如果f (x)在区间la,b上可积，且积f |f (x)dx分收敛，则积分f f (x)dxaa必收敛，则成立不等式f f (x)dx f If (x) dx.aa2.3无穷限广义积分敛散性的判
14、别2.3.1无穷限广义积分的定义判别法可通过无穷限广义积分的定义及极限的方法判别无穷积分的敛散性，适用于 无穷积分所对应的定积分且原函数较容易求出的类型.g 1例1证明无穷积分fdx收敛.1 + x 2g证明因为f 1 dx =1 + x 2gJ 1 dx +1 + x 21 + x 2g0(积分的可加性)，设a e(-g,0)则有dx1 + x 2g!x = arctan x o = arctan a ,贝 U lima1dx = lim arctan a =设1 + x 22agagab e (0, g), 从而可得 f 1_dx = f 1_d1 + x 21 + x 20 0lx = arctan x b = arctan b,0dxbg 1 + x 2o兀 =limarctan b = 可知积分2bTg
