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1、-第十七章 推理与证明*知识网络*推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法反证法第1讲 合情推理和演绎推理 *知识梳理*1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从构造上说,推理一般由两局部组成,一局部是的事实(或假设)叫做前提,一局部是由推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比拟、联想，再进展归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：1归纳推理：由*类事物的局部对象具有*些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之
2、，归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理2类比推理：由两类对象具有*些类似特征和其中一类对象具有的*些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出*个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：1大前提-的一般原理；2小前提-所研究的特殊情况；3结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。*重难点突破*重点:会用合情推理提出猜测,会用演绎推理进展推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系难点:发现两类对象的类似特征、在局部对象中寻找共同特征或规律重难点：利
3、用合情推理的原理提出猜测，利用演绎推理的形式进展证明1、归纳推理关键是要在局部对象中寻找共同特征或*种规律性问题1：观察：；.对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 _.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2：抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于、两点，则当与椭圆的长轴垂直时，的长度最短3、运用演绎推理的推理形式(三段论)
4、进展推理问题3：定义*为不超过*的最大整数，则-2.1=点拨：“大前提是在找最大整数，所以-2.1=-3*热点考点题型探析*考点1 合情推理题型1 用归纳推理发现规律例1 通过观察以下等式，猜测出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律1构造的一致性,2观察角的“共性 解析猜测：证明：左边=右边【名师指引】1先猜后证是一种常见题型2归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型，二是“递推型，三是“循环型周期性 例2 (09九校联考)蜜蜂被认为是自然界中最出色的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢
5、，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_;=_.【解题思路】找出的关系式解析【名师指引】处理“递推型问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1.(2021二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,假设的分解中最小的数是73，则的值为_ .解析的分解中，最小的数依次为3，7，13，由得2.(2021调研二理)函数由下表定义：假设，则 4 解析，点评：此题为循环型3.(2021调研)图1、2、3、4分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届奥运会桔祥物“福娃迎迎，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃
6、迎迎，则；答案用数字或的解析式表示解析4. (2021揭阳一模)设,则= A. B. C. D. 解析，=题型2 用类比推理猜测新的命题例1 (2021调研)正三角形切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.【解题思路】从方法的类比入手解析原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的切球的半径是高【名师指引】1不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比2类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 例2 在中,假设,则,用类比的方法,猜测三棱锥的类似性质,并证明你的猜
7、测【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间 解析由平面类比到空间,有如下猜测:“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则证明：设在平面的射影为，延长交于，记由得，从而，又，即【名师指引】1找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；2找对应元素的对应关系，如：两条边直线垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【新题导练】5. (2021二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面有两个边长都是的正方形，其中一个的*顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠局部的面积恒为
8、类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的*顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠局部的体积恒为解析解法的类比特殊化，易得两个正方体重叠局部的体积为6. (2021一模)的三边长为，切圆半径为用，则；类比这一结论有：假设三棱锥的切球半径为，则三棱锥体积解析7.(2021届省市高三理科数学高考模拟题二)在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_,球心在的球的一般方程为_.解析 ；8.对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数和都是非零实数，方程和在复数集上的解集分别是和，则“是“的充分必要条件试对两个一元二次不等式的解集写出类
9、似的结果，并加以证明解：3如果系数和都是非零实数，不等式和的解集分别是和，则“是“的既不充分也不必要条件可以举反例加以说明9.等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，则这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差类比等差数列的定义给出“等和数列的定义：； 数列是等和数列，且，公和为，则的值为_这个数列的前项和的计算公式为_解析在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，则这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；考点2 演绎推理题型:利用“三段论进展推理例1 07启东中学模拟*校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经历
10、公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，假设*班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，则该指标应为填入中的*个字母【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律 解析因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到例2 03集合M是满足以下性质的函数f(*)的全体：存在非零常数T，对任意*R，有f(*+T)=T f(*)成立.1函数f(*)= * 是否属于集合M.说明理由；2设函数f
11、(*)=a*a0,且a1的图象与y=*的图象有公共点，证明： f(*)=a*M；3假设函数f(*)=sink*M ,数k的取值围.【解题思路】函数f(*)是否属于集合M，要看f(*)是否满足集合M的“定义，解1对于非零常数T，f(*+T)=*+T, Tf(*)=T*. 因为对任意*R，*+T= T*不能恒成立，所以f(*)=2因为函数f(*)=a*a0且a1的图象与函数y=*的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得a*=*,显然*=0不是方程a*=*的解，所以存在非零常数T，使aT=T.于是对于f(*)=a*有 故f(*)=a*M.3当k=0时，f(*)=0，显然f(*)=0M.当k0时，因
12、为f(*)=sink*M，所以存在非零常数T，对任意*R，有f(*+T)=Tf(*)成立，即sin(k*+kT)=Tsink* .因为k0，且*R，所以k*R，k*+kTR，于是sink*1，1，sin(k*+kT)1，1，故要使sin(k*+kT)=Tsink* .成立，只有T=，当T=1时，sin(k*+k)=sink*成立，则k=2m, mZ . 当T=1时，sin(k*k)=sink*成立，即sin(k*k+)= sink*成立，则k+=2m, mZ ，即k=2(m1), mZ .实数k的取值围是k|k= m, mZ【名师指引】学会紧扣“定义解题【新题导练】10.(2021质检理)定义
13、是向量a和b的“向量积，它的长度为向量a和b的夹角，假设=.解析11.(2021二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、各点，最后又回到如下图，其中：，欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度，则BA B C D解析只需测量3条线段的长12.(2021调研二)为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，承受方由密文明文解密，加密规则为：明文对应密文，例如，明文对应密文当承受方收到密文时，则解密得到的明文为 A 4，6，1，7 B 7，6，1，4 C 6，4，1，7 D 1，6，4，7解析由得，选C13.对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“为：；运算“为：，设，假设，则 A B C D解：由题意，解得，所以正确答案为B点评：实际上，此题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算我们可以把该题复原为：复数满足，则_*抢分频道*根底稳固训练1、对于集合A,B,定义运算，则= A.B B.A C. D.解析D 用图示法2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数是假命题，推理错误的原因是A使用了归纳推理 B使用了类比推理C使用了“三段论，但大前提错误D使用了“三段论，但小前提错误解析大前提是特指命题，而小前提是全称命题
