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1、小专题(二)三角形内角和与外角的几种常见应用三角形的内角和为180,三角形的中线、高线、角平分线是三角形的三条特殊线段,它们之间形成的特殊角与三角形的内角之间存在一定的数量关系,是考试命题中的热点,也是一些探究题的命题素材,解题时注意利用转化的思想和数形结合的思想来求解,学习时注意及时总结规律.类型1三角形内角和定理的应用1.(长沙中考)一个三角形的三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2.如图,小李制作了一张ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,现将ABC沿着DE折叠压平,使点A落在点A位置.若A=75,则1+2=
2、150.3.已知在ABC中,ABC-ACB=20,ACB的度数是BAC度数的.求ABC的度数.解:设ACB=x,ABC=x+20,BAC=2x,ABC+ACB+BAC=180,x+20+x+2x=180,x=40,ABC=60.类型2三角形外角性质定理的应用4.如图,图中x的值为(B)A.50B.60C.70D.755.如图,DEBC,EDC=40,ABC=60,则BAD的度数为100.6.如图,EP平分AED,FP平分AFB,ED与FB交于点C,请你找出P,A,ECF之间的一个确定的数量关系式,并说明理由.解:A+ECF=2P.理由:延长EP交AF于点G,则EPF=PGF+AFP,PGF=A
3、+AEP,EPF=A+AEP+AFP.ECF=CDF+CFD,CDF=A+AED,又EP平分AED,FP平分AFB,ECF=A+AED+CFD=A+2AEP+2AFP,A+ECF=2A+2AEP+2AFP=2EPF.类型3三角形内角和与外角的综合应用7.三角形中,三个内角的比为136,它的三个外角的比为(C)A.136B.631C.974D.3528.如图,七角星中A+B+C+D+E+F+G=180.9.如图,在ABC中,B=C,D是BC边上任意一点,点E在AC边上,且ADE=AED.(1)若BAD=40,求EDC的度数;(2)若EDC=15,求BAD的度数;(3)根据上述两小题的答案,试写出
4、EDC与BAD的关系.解:(1)B=C=(180-BAC)=90-BAC,ADC=B+BAD=130-BAC.DAC=BAC-BAD=BAC-40,ADE=AED=(180-DAC)=110-BAC,EDC=ADC-ADE=130-BAC-=20.(2)AED=EDC+C,ADC=B+BAD,ADC=ADE+EDC=AED+EDC=2EDC+C,B=C,BAD=2EDC=30.(3)EDC=BAD.10.如图,已知AD是ABC的角平分线(ACBB),EFAD于点P,交BC的延长线于点M.(1)如果ACB=90,求证:M=1;(2)求证:M=(ACB-B).解:(1)AD是ABC的角平分线,1=
5、2,EFAD,2+AFP=90,ACB=90,M+CFM=90,CFM=AFP,M=2=1.(2)EFAD,AD平分BAC,APE=APF=90,1=2,又AEF=90-1,AFE=90-2,AEF=AFE,CFM=AFE,AEF=AFE=CFM,AEF=B+M,CFM=ACB-M,B+M=ACB-M,即M=(ACB-B).类型4三角形特殊线段形成的角11.如图,BP是ABC中ABC的平分线,CP是ABC的外角ACM的平分线,如果ABP=20,ACP=50,则A+P=(C)A.70B.80C.90D.10012.如图,ABC中,A=80,高BE和CH的交点为O,则BOC等于(C)A.80B.120C.100D.15013.在ABC中,A=64,角平分线BP,CP相交于点P.(1)如图1,若BP,CP是两内角的平分线,则BPC=122;(2)如图2,若BP,CP是两外角的平分线,则BPC=58;(3)如图3,若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则BPC=32.(4)由(1)(2)(3)可知BPC与A有着密切的数量关系,请写出你的发现.解:(4)若BP,CP是两内角的平分线,则BPC=90+A;若BP,CP是两外角的平分线,则BPC=90-A;若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则BPC=A.
