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1、利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233(a b)(a -ab b ) = a b (立方和公式)(a -b)(a2 ab b2) = a3 -b3(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： 8 x3(2) 0.125 -27b3分析： 中，8=2，(2)中 0
2、.125 = 0.53,27b3 = (3b)3 .解： 8 x3 = 23 x3 = (2x)(4 - 2x x2)(2) 0.125 -27b3 =0.53 -(3b)3 =(0.5 -3b)0.52 0.5 3b (3b)2 iI说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幕的运算法则，如 8a3b3 =(2ab)3， 这里逆用了法则(ab)n=anbn ; (2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符 号.【例2】分解因式：(1) 3a3b81b4(2)a7ab6分析：中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现a6-b6，可看着是(a
3、3)2-(b3)2 或(a2)3 -(b2)3.匕/解：(1) 3a3b -81b4 = 3b(a3 - 27b3) = 3b(a -3b)(a2 3ab 9b2).76663333(2) a -ab = a(a _b ) = a(a b )(a -b )强化练习1. 因式分解下列各式：6 6(1) x -1(3) x - y(2) a3 8b32 .把下列各式分解因式：3c3/八 3丄 4 8-m(1)xy xn，：3n 327x +8(2) x -x y13132323(4) p q(3) a (m n) - a b8643312,2、328x y y (x -2x) y12513 313
4、(6) x y c216272. 把下列各式分解因式：强化练习答案1. (1)x3 -1 二 x3 -13 二(x-1)(x2 x 1 T2) = (x-1)(x2 x 1) a3 8b3 二 a3 (2b)3 二a (2b) a2 - a (2b) (2b)266 z 3、2 / 32/ 3 丄 3、/ 33 x x -y = (x ) -(y ) = (x + y )(x -y )2. (a 3 )(a2 -3a 9),(2 -m)(4 2m m2),(2 -3x)(4 6x 9x2),12212 2211222-二(2p+q)(4p - 2pq+q ),(2xy - ：)(4x yxy
5、+忑)，凤(xy + 2c)(x y -2xyc+4c)645525 2163. x(x y)(y2 -xy x2), xn (x - y)(x2 xy y2),立方和与立方差公式22331、(a+b)(a -ab+b )= a +b两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和223.32、(a b)(a +ab+b )= a b两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差例计算：2122 14 52(1)(3+2y)(9-6y+4y) ; (2)(5a- b )(25a + b + ab );4(3) Um 1!(4) J-“广厂课堂练习1 立方和或立方差公式
6、：(1)(x-3)()= x -27 ; (2)(2x+3)()= 8x +27;(x 2+2)() = x6+8; (4)(3a-2)()= 27a3-82(1)()(a 2+2ab+4b2) =; (2)()(9a 2-6ab+4b 2) =(3)()( 丄-xy+4y 2) =; (4)()(m 4+4吊+16) =43、F列等式能够成立的是?A. (a+b)(a 2+2ab+b2)=a3+b3; B. (a-b)(a 2-ab+b 2)=a3-b3;22332233C. (a-b)(a +ab+b )=a -b ; D. (a-b)(a +2ab+b )=a -b .4、能够用立方和、
7、立方差公式进行计算的是？?32322A. (m+n)(m +mn+n ) ; B. (m-n)(m +n );2 2 2C. (x+1)(x -x+1) ; D. (x +1)(x -x+1)52 2 2(1)(y+3)(y-3y+9) ; (2)(c+5)(25-5c+c) ; (3)(2x-5)(4x+25+10x)22424222(x -y )(x +x2y +y )(5)(5-2y)(4y+25+10y)(6)(2a+b)(4a -4ab+b )(7)(1+4x)(16x2+1-4x)(8)(x-1)(x2-x+1) ; (9)(a-3)(a2+3a-9)(10) (a-2b)(a+2
8、b)(a 2+2ab+4b)(a 2-2ab+4b2).6 已知 x2+y2=6, xy=2，求 x6+y6 的值.立方和与立方差习题2232222333、公式(a+b)(a -ab+b )=a +a b-a b-ab +ab+b =a +b .(a-b)(a 2+ab+b2)=a 3-a 2b+a2b-ab 2+ab2-b 3=a3-b3.二、运用乘法公式计算：1、(l)(3+2y)(9-6y+4y2);(5)(x-3)(?)=x 3-27;(2) (5护)(25/+討 + 树:(2x+3)(?)=8x 3+27;(x 2+2)(?)=x 6+8;(8)(3a-2)(?)=27a 3-8 .
9、-II三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式(1)1x3-27(2)-a3b3-1(3)(X y)3-(x-y)3(4)x3m-y3m64(5)a3b(6)27四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值? (1) a2+b2?(2)a 2-ab+b2?(3)(a-b) 2?(4)a 3+b31)(3+2y)(9-6y+4y212214522) ;(2)(5a-b2)(25a 2+ b4+ ab2);242(3)(4)(a - 2&)(a + 肚)(/ + 2ab+4b2)(a2 - 2必 + 4沪)课堂练习1 立方和或立方差公式：33(1)(x-3)()二 x-27 ;(2x+3)()
10、二 8X+27;(x 2+2)() = x6+8; (4)(3a-2)()= 27a3-82 使之符号立言和或立方差公式：(1)()(a 2+2ab+4t) =; (2)()(9a 2-6ab+4b2) =;(3)()(丄-xy+4y2) =; (4)()(m 4+4nn+16) =43、下列等式能够成立的是?A. (a+b)(a 2+2ab+6)=a3+b3; B. (a-b)(a 2-ab+b2)=a3-b3;22、3 . 322、3 . 3C. (a-b)(a +ab+b)=a -b ; D. (a-b)(a +2ab+b)=a -b .4、 能够用立方和、立方差公式进行计算的是?A.
11、(m+n)(m3+mn+n3); B. (m-n)(m2+n);2 2 2C. (x+1)(x -x+1) ; D. (x +1)(x -x+1)5(1)(y+3)(y 2-3y+9);(c+5)(25-5c+c 2);(2x-5)(4x2+25+10x)(x 2-y2)(x 4+x2y2+y)(5)(5-2y)(4y 2+25+10y)2 2(2a+b)(4a -4ab+b)(1+4x)(16x 2+1-4x)(8)(x-1)(x 2-x+1);2(9)(a-3)(a+3a-9)l(10)(a-2b)(a+2b)(a2+2ab+4t)(a 2-2ab+4b2).6 已知 x2+y2=6, x
12、y=2，求 x6+y6 的值.8、(1)(x 2)(x2 -2x 4)(2)(2a 5b)(4a2 -10ab 25b2)I2aba2 ab b2(1)(2x-1)(4x2 2x 1)(2)()()3 2 9649、b2 丄 5ab 丄 b2(5a_)(25a2)224(x -3y)(x 2y)(x2 -2xy 4y2)(x2 3xy 9y2) 已知 x3 = 2，求(x - 3)(x2 3x 9)的值(1)x3-1 a3 8b3(3)x6-y611、利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1)x3 右(2)8a3 -125b3 (3) x3 X2 - 2 a6 -64b6(5) x6 -
13、 y61、(1)(x-3)()二 x3-27 ;(2x+3)()二 8x3+27;(x 2+2)() = x6+8; (4)(3a-2)()= 27a8思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a与b?(有两种方法，从二项的因式判断，从积去判断，将积化为两数的立言和(或差)2 2 2 2(1)()(a+2ab+4b) =; (2)()(9a-6ab+4b ) =;(3)()( 1 -xy+4y2) =;(4)()(m 4+4m+16) =43(1)(y+3)(y 2-3y+9) ; (2)(c+5)(25-5c+c 2)；2 214 2 11 2(3)(2x-5)(4x 2+25+10x); (4)( a- 1 b)( 4 a2+ 1 ab+ 1 b2);3 2934(x 2-y2)(x 4+x2y2+y4)1(1)(5-2y)(4y 2+25+10y);(2)(1+4x)(16x 2+1-4x);(3)(2a-3b)(4a 2+6ab+9t) ;(4)(-x-2y)(x2-2xy+4y2);2 2(y-x)(x+xy+y );(6)(10-3)(9+30+100)2计豊：(1)(x-1)(x 2-x+1) ；(2)(2a+b)(4a 2-4ab+b2);(3)(b+5)(-5b+25+b 2);(4)(a-3)(a2+3a-9)
