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1、目 录0. 前言11. 线性二次最优控制LQR基本理论12. 方案设计23. 软件编程34. 系统调试和结果分析36. 结论及进一步设想6参考文献6课设体会8直线一级倒立摆LQR控制器的设计姬晓龙 沈阳航空航天大学自动化学院摘要：在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。关键词：二次型；倒立摆；稳定控制0. 前言倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院
2、的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验范围。在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用matlab高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。1. 线性二次最优控制LQ
3、R基本理论LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程： 确定下列最佳控制向量的矩阵K： 使得性能指标达到最小值： 式中 Q 正定（或正半定）厄米特或实对称阵 R_为正定厄米特或实对称阵下面是最优控制LQR控制原理图：图1 最优控制LQR控制原理图方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R确定了误差和能量损耗
4、的相对重要性。并且假设控制向量u(t) 是无约束的。对线性系统：根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。K=lqr(A,B,Q,R) 改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是Q不能过大。2. 方案设计直线一级倒立摆系统的系统状态方程：四个状态量，分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规
5、律的向量K,用MATLAB中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。Lqr函数允许选择两个参数R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。假定R=1,Q=C*C.其中代表小车位置权重，而是摆杆角度的权重，输入R是1。3. 软件编程程序如下：clear; A= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0; B= 0 1 0 3; C= 1 0 0 0; 0 0 1 0; D= 0 0 ; Q11=1000; Q33=200; Q=Q11 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 Q33 0; 0 0 0 0; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) A
6、c = (A-B*K); Bc = B; Cc = C; Dc = D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T); Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),-);hold on; plot(T,X(:,2),-.);hold on; plot(T,X(:,3),.);hold on; plot(T,X(:,4),-) legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)运行程序可得K的值。4. 系统调试和结果分析根据方案设计结果，进行了设计电路的实际联接。取=1，=1时，可得K = -1 -1.7855
7、 25.422 4.6849。此时系统的响应曲线如下图：图2 系统阶跃响应曲线从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在Q矩阵中，增加使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这里取=5000，=100，可得K =-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521,系统响应曲线如下：图3 系统阶跃响应曲线综上,通过增大Q矩阵中的和，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。在simulink中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：图4 直线一级倒立摆L
8、QR 控制仿真模型输入=1，=1时，得到的K = -1 -1.7855 25.422 4.6849，执行仿真得到如下仿真结果：图5 直线一级倒立摆LQR控制仿真结果1而输入=5000，=100时，得到的K =-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521,执行仿真得到如下仿真结果：图6 直线一级倒立摆LQR控制仿真结果2在图5、图6中，car position和angel-pendulum分别代表小车位置曲线和摆杆角度曲线。可以发现，Q 矩阵中，增加使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小,增大和系统响应明显明显加快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起
9、系统震荡。6. 结论及进一步设想建立了一级倒立摆的数学模型，并设计了LQR控制器，用MATLAB实现了控制系统的仿真，得到了一级倒立摆各状态量及控制量的响应曲线。由实验结果可以看到，本次课设完成了要求，达到了目的。当然由于知识有限设计还有一些缺陷。参考文献1 固高科技有限公司.固高倒立摆与自动控制原理实验指导书M.深圳:固高科技有限公 司,2005年9月。2 邹伯敏.自动控制理论M.北京:机械工业出版社，2003年3 刘豹.现代控制理论M.北京:机械工业出版社，2007年4 王仲民,孙建军,岳宏.基于LQR的倒立摆最优控制系统研究J.工业仪表与自动化装置.2 005年,3（6）:2832。5
10、吴晓燕,张双选.MATLAB在自动控制中的应用M .西安：西安电子科技大学出版社,2006年。6 王士莹,张峰,陈志勇,赵协广.直线一级倒立摆的LQR控制器设计J.信息技术.2006年, 35（6）:9899。7 世界首例倒立摆实验控制系统在我校试验成功J.北京师范大学学报（自然科学版），2002，（10）:58.8 宋兆基，徐流美.MATLAB6.5在科学计算中的应用M,北京:清华大学出版社，2005 课设体会在课设过程中，我发现自己许多知识自己都还没有掌握，而且欠缺一些理论应用的能力，但是作为学生我不能偷懒，所以我借了一些书看，不懂了就问同学或老师。通过这次课设，我熟悉了倒立摆实际控制系统的硬件结构形式和倒立摆控制系统软件。同时复习了MATLAB应用的一些知识，看到了自己的不足，也学习了许多。感谢老师给我这样一个学习的机会，和每天不厌其烦的指导。2010年7月 23日完成
