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1、高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；、定理 若 lim f(x) A,lim g(x) B,则(加减运算)limf(x) g(x) A B(乘法运算)lim f(x)gg(x) AB(除法运算)若B 0,lim* A g(X) B推论 1: lim f (x) A,lim f (x)n lim f (x)n An ( n 为正整数)推论 2： lim cf (x) clim f (x)a0 4结论1：当m nm m 1 ,U0axaxLamx amlim nnn 0, 当 m nx box b【xLbn 1x bn,* m n结论2: f(x)是基本初等函数
2、，其定义区间为D,若 D ,则lim f (x)f(x0)x x02、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；定义 1：若 lim f(x) 0 或(lim f (x) 0) x x0x则称f (x)是当x % (或x )时的无穷小.定义2:,是自变量在同一变化过程中的无穷小：若lim 1,则称与是等价无穷小，记为性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2（等价无穷小替换定理）设 ，且lim 一存在,贝Ulim lim lim lim .（因式替换原则）常用等价无穷小：sinx x, t
3、anx x, arcsinx x, arctanx x,1 cosx勺x2,ex 1x, 1 x 1 x,ln 1 x x, ax 1 xln a, x 03、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；准则1（夹逼准则）若数列xn, yn,zn（n=1,2,）满足下列条件 ynxn zn（n 1,2,3,L ）;( ) lim yn lim z a nn则数列xn的极限存在，且limXrl a n准则II:单调有界数列必有极限.-1x)x e lim(1 一)x ex,0,0类型4、利用两个重要极限。sin x , lim1 lim(1x 0 xx 05、利用洛必达法则。0未定式为o，一0定理(x a时
4、的0型)：设lim f (x) lim F(x) 0；x ax ao(2)在某U(a,)内，f(x)及F(x)都存在且F(x) 0;lim上存在(或为无穷大) x a F (x)则，lim 3 lim 山 x a F(x) x a F (x)0-8,8-8, 0,8。型0 *800 X取倒数0数 时8二、求导数和微分1 .定义导数：函数y ”*)在* X0处的导数：f(x) f(%). f(Xo X) f(Xo)f (x0) lim - lim 0-.x XoX Xqx 0X函数y f(x)在区间i上的导函数：f(Xx)f(x)dyf (x)lim-.x 0xdx函数的微分：dy f (x)d
5、x.2 .导数运算法则(须记住 P140导数公式)函数和差积商求导法则：函数u(x)、v(x)可导，则:(u(x) v(x)u(x) v(x)(u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x).u v uv(v(x) 0)反函数求导法则：若X (y)的导数存在且(y) 0,则反函数y f (x)的导数也存在且为1f (x)(y)复合函数求导法则(链式法则)：u (x)可导，y f(u)可导,则y f ( (x)可导，且dy dy dudx du dx隐函数求导法则：F(x,j) = O两边对x求导金尸(*小)=0(含导数K的方程) dx参数方程求导法则：x (t),y (t)dy(t)
6、。则鼠vjx(t)(t).3.d2ydx2d(dy)dxdxd)(t)_1dt dxdt微分运算法则设(x), v(.v)均可微，则1. d(u v) = dw dv2. d(Cu) - Cdu(C为常数)3 . d(wv) = vdw + wdv 4. d(M)二“独:(v 0)三、求积分a性质 1 f (x)dx 0,aabf (x)dx f ( x)dxa1 . 概念 原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。f (x)dx lim f ( i ) xiai1bbf (x)dx g(x)dx aab性质 4 f (x)dxacf(x)dxabf(x)dxc( 去绝对值, 分b
7、性质 2 f (x) g(x)dxabb性质 3 kf(x)dx k f(x)dx, (k是吊数).aa段函数积分)性质 5 bdx b a2 .计算公式：P186基本积分表；P203常用积分公式;第一换元法(凑微分)：u (x)f( (x) (x)dx f( (x)d (x) f (u)du u (x)常用的几种凑微分形式:(1) J/(ar+ 6)dx=+方)(2) J/(xn-ldx=i j/()dxnG)pV)沁：J/V)(4) Jf (sin x)cosAdx; - J/(sin x) dsin 工(5) j /(cosjr)sin Tdx =-|/(cosr) dcos .r(6)
8、 Jy(tan)sec2 xdx =J/(tanx) dtan x(/心蕨=(力四(8) /旧总见J1 dx d arcsin x d arccosx, 1 x2111dx d(-), dx 2d、x. xx Jx第二换元法：x (t)2. f (x)dxf( (t) (t)dt第二类换元常见类型(三角,倒代换,根式,指数,万能,双曲)：(1) Jyi(x j/ox + 6 )dx ,令 t =、i- 根式代换(X，/曲，令=腐J(3) J/(x 一/ )山:令 x = asm t 或* 二 acosf 00 J+ x )dx, 令 x - a tan /二角代换(5) J/(工,J储一/)d
9、x,令 x-(7sec?(6) 令lL指数代换分母次数较高，倒代换第一换元涉及的重要恒等式sin1 Z+ cos2 r= 1, sec2 /tan2 r = lf ch2 f -sh2 f = 1分部积分法:3. u(x)v(x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dxudv uv vdu (反对备指三”，前u,后v) 分部化简；循环解出；递推公式有理函数积分:3( 十N 二J ,4+ px + qr Mx + N , 4一，-tbJ (x* + px + q)”(pz - 1)牛顿莱布尼茨公式：b4. f(x)dx F(b) a定积分换元法： b5. a f (x)dx定积分分部积分法
10、：b6. u(x)v(x)dx a假分式 至项才声多项式-真分式分解若干部分分式之和混合法(赋值法+特殊值法)确定系数四种典型部分分式的积分：1 . 月 dx =且In,一十CJ x-a2 . f -改=7(大一日)十。 0,1)J (x - a)n 分子二*代分母的导数十&变分子为/卜 (2工+尸)+ N-苧再分项积分F(a) F(x)b (其中 F(x)f(x)f( (t) (t)dt(a= ( ) b=()(换元换限，配元(凑微)不换限)b bu(x)v(x) u (x)v(x)dxa a结论(偶倍奇零):若函数f(x)为偶函数，则 J(x)dx 2 f (x)dxa0a若函数f(x)为
11、奇函数，则 f (x)dx 0a注思：1 .利用“偶倍奇零”简化定积分的计算； 22 .定积分几何意义求一些特殊的积分(如：TOFdx ：)变限积分求导白 dr = f(x), 2= -f(x)= /q(切d(x)，仁 d，=/0(浏。)-/1(刈以“)dx产四、微分和积分的应用1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、 描绘函数图形判断单调性：第一步：找使 f (x) 0的点和不可导点第二步：以驻点和不可导 点划分单调区间，在每个区间上讨论f (x)的正负，f (x) 0,函数递增，f (x) 0, 函数递减。判断凹凸性：第一步：找使f (x) 0的点和不可导点。第二步：以这些点划分定义
12、区间，在每个区间上讨论f (x)的正负，f (x) 0,是凹区间，f (x) 0,是 凸区间。(拐点：左右两边f (x)的符号相反)判断函数极值：第一步：找使 f (x) 0的点和不可导点。第二步：判断这些点两边 f (x)的正负，若 左正右负极 大值点左负右正极小值点。定积分的几何应用-求面积，体积和弧长y=f上所求图形的面积为：Sbaf(x) f 下(x)dxd所求图形的面积为：S右(y) c左(y)dy旋转体：由连续曲线y f ( x)、直线x a、x b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。旋转体：由连续曲线 x (y)直线y c、y d及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周而成的
13、立体d2V (y)2dyc平面图形的面积宜角坐标方程N-J：/(Md工方程 参数方程 4二).*，)() f、极坐标方程 月 fd d2 J 平面曲线的弧长弧微分：d J(d寸十(府直角坐标方程参数方程方程极坐标方程ds yrldx ds-yjxr2(t)yr2(t)df必 J/+r气60 ds已知平行截面面面积函数的立体体积r $.V = J(x)dx旋转体的体积绕 M 轴：J(x) = jry2(x)v = y(x).绕F轴：4(幻=2”中(柱壳法)x - -v( j)绕 y 轴：A(y) = /rxv)定积分的物理应用变力沿直线做功；水（侧）压力；引力 思路：建立坐标系，选取积分变量 （如x）,在x, x+ dx上给由微元第六空间解析几何r r r r1.向量a axiayj azk在坐标轴上的投影分别为：r r rax,ay,az ；在坐标轴上的分量分别为：axi ,ay j, azkr|a | 尿2ay2az2,ea-r(cos,
