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1、立体几何综合复习一、直线与平面垂直1定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.记作：l丄a2直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直简记为：线线垂直n线面垂直数学描述：1丄a, l丄b aua, bua, a b = P alia3.直线与平面垂直的性质定理n垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直n线线平行4直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上
2、的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐.角.，叫做这条直线和这个平面所成的角.（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于o 因此，直线与平面所成的角a的范围是o,n.5常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直二、平面与平面垂直1定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平
3、面“垂直,记作a丄B .4二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：o, n.三、垂直问题的转化关系平面几何的定理线面垂直面面垂直判定定理面面垂宜性质足理- 鼻面面垂宜线线垂直考向一 线面垂直的判定与性质典例引领典例i如图所示，匸和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且了“；，下列说法中错误
4、的是A. 平面B.茫I平面丄；C. ：；-平面丄：；D.C.平面丄：；变式拓展1-如图，在棱长为1的正方体ABCD - aibicidi中，点E、F分别是棱BC、-的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点且满足P丄EF，则线段卒长度的取值范围是Ac/EBAc.1,冋D.卜2,、：3典例引领典例2如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，门为线段&的中点.（J求证:L丄平面I -；CO求证：直线山平面川|；变式拓展2.如图1所示，在RtAABC中，ZC=90, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到的位置，使Af丄CD,如图2所示.1)DK(:Ra图
5、图2(1) 求证：AF丄BE ；1(2) 线段A1B上是否存在点Q,使Af丄平面DEQ ?说明理由.考向二 面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直(3) 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个 平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直典例引领典例4如图，直三棱柱中,：分别是“川的中点,亠二(1) 证明厂平面 ；1;(2) 证明:平面m-平面.考向三 线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤
6、： 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； 把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择典例5 正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为ABCD典例6如图，直三棱柱ABC - ABC的底面是边长为2的正三角形
7、，E, F分别是BC, CC的中点. 1 1 1 1(1)证明：平面AEF丄平面BBCC ；11若直线*与平面AiABBi所成的角为铲，求三棱锥F - AEC的体积.L变式拓展4如图，四边形门为矩形，四边形施为直角梯形匚：-.(3)若二面角沈的大小为:，求直线与平面J J ；所成的角.-(1)求证:宀；(2)求证平面-;1下列命题中不正确的是A. 如果平面Q丄平面，且直线l平面则直线l丄平面BB. 如果平面Q丄平面，那么平面a内一定存在直线平行于平面BC. 如果平面a不垂直于平面，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BD. 如果平面a丄平面卩，平面丄平面y，a=l，那么l丄卩2.设a，b，c表
8、示三条直线，a，B表示两个平面，则下列命题中不正确的是A.a丄bB. b uR n b 丄 cc是a在卩内的射影b cC. b ua n cac w aD.all ab丄aJnbaC.D.；4.如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC夕卜，PH丄平面ABC于H,则垂足H是ABC的A.外心 B.内心C.垂心 D.重心5.如图,A,B,C,D为空间四点，在ABC中AB=2AC=BC=二,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB丄平面ABC时,CD=6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC, PA = 2AB,则下列结论正确的是A. PB丄
9、ADB.平面PAB丄平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45。7.九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图 1，该几何体可由图 2 中的八边形V 沿向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1,则此“刍 甍”中：与平面士丸所成角的正弦值为B.D.A.:C.8.如图，在矩形ABCD中AB=2,AD=3,点E为AD的中点，现分别沿BE,CE将ABE,DCE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为1)2)ABCD539. 已知a B
10、是平面，m、n是直线，给出下列命题: 若m丄a, mu,贝a丄； 若 mua, nua, m“，n“，贝V a“；如果mua， na, m， n是异面直线，那么n与a相交;若 ap=m, nm,且 n/a, %邨，贝V na 且 n“. 其中命题正确的是.10. 如图，三棱锥卩-俶,平面卩丄平面咏，若卩日丄肮，则価的形状为11. 在四面体中，二 平面I ；r = ；n,二：，；为棱门上一点，且平面|；：；- 平面眈,贝叩三=.12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC,ZBAC=90, F是AC的中点，E是PC上的点，且EFPE丄BC,则-.EC13如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA丄底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM丄时，平面 MBD丄平面PCD.14.四棱锥 i ；:中，且飞丄平面是棱 I 的中点.(1) 证明:厂-平面1：；(2) 求三棱锥-的体积.
