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1、向量的概念与线性运算g -.考点要求1了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义2. 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算 性质及其几何意义.3会用向量的几何表示及其代数运算、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题- 知识与方法梳理一、基础知识A. 向量的基本概念1. 向量的概念：既有又有的量，注意向量和数量的区别.向量常用来表示.举例1 (1)已知A(1,2) , B(4,2)，则把向量AB按向量a = (-1,3)平移后得到的向量是.( 2)向量就是有向线段，这种说法对吗？为什么？2. 向量的长度(模)：向量的叫做向
2、量的模.3零向量：长度为 的向量叫零向量，记作：一.规定：零向量的方向.4.单位向量：长度为的向量叫做单位向量.注：与AB共线的单位向量有.5相等向量：且的两个向量叫相等向量，向量的相等关系是否可传递？注：(1)所有零向量.(2)两不相等的向量，是否能比较大小？向量的模是否可以比较大小？6.平行向量(也叫共线向量)：的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a b .注：(1)平行向量也叫自由向量：一组平行向量，只要不改都可以移到用有向线段表示向量时，有向线段的起 _* _*点是否可以任意选取？(2) 向量的“平行”与直线(线段)的“平行”的区别：向量平行B .而直线平行关系是指.(3) 规定：零向
3、量与平行.(4) “相等向量”与“共线向量”具有什么关系？(5) 向量的平行关系是否可递？为什么？；(6) “ A B、C三点共线”与“向量AB.AC共线”具有什么关系？7相反向量：长度且方向的向量叫做相反向量.a的相反向量记作.注：是否存在这样的向量，它的相反向量也是它本身？举例2给出如下列命题：(1)若| a 1=1 b |，则a = b . (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3) 若AB = DC，则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形，则AB = DC . (5)若a = b， b = c，则a = c .(6)若a / /b， b / /c则a
4、/ /c .其中正确的是.结果：(4T(5)B. 向量的表示方法一一一1几何表示：用表示向量，如AB，注意，书写时起点和终点哪一个在前面？2. 符号表示：用表示，如a， b， c等；3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a = ，则称为向量a的坐标，a = (x,y)叫做向量a的，思考：当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量的终点坐标是否相同？为什么？ -C. 实数与向量的积实数九与向量a的积是一个向量，记作九a，它的长度和方向规定如下:模：.(2) 方向：思考：式子 九=0有道理吗？D. 向量共线定理向量b与
5、向量a (a H 0)平行(共线)的充要条件：存在唯一实数九，使.注：向量共线的其它条件：a / / b o b =Aa o (a - b )2 = (| a II b 1)2 o xy - yx = 0 .1 2 12推论 若AD为 ABC边BC上的中线，则AD = 2(AB + AC).E、向量的线性运算一 一一1. 向量的线性运算共包括：一 一一(1) 向量的加法运算；(2)向量的减法运算；(3)向量的数乘运算.2. 向量线性运算的几种形式：(1) 代数形式 设a、b为非零向量：在平面内任取一点A，作AB = a，BC = b，则向量叫做a与b的和，记作a + b，即. 对于零向量与任一
6、向量a，规定a + 0 =.- 求两个向量的运算，叫做向量的加法.(2) 向量的减法 差向量的定义：. 向量的减法定义：.(3) 向量的数乘规定实数九与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作九a，它的长度与方向规 定见前面内容.(ii)几何形式(1) 向量加法运算法则：:.运算形式：若AB二a，BC二b，则向量AC叫做a与b的和，即a + b二AB + BC二AC ；作图：已知向量a，b，用平行四边形法则、三角形法则求作a + b .注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.(2) 向量的减法运算法则：.运算形式：若AB = a， AC = b，则a b = AB AC = CA，即
7、由减向量的终点指向被减向量的终 点.作图：已知向量a，-b，用三角形法则求作云bL *注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7(1 )化简： AB + BC + CD =: AB AD DC =:(JA-D) CBD)=.结果： AD； CB；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB = a , BCb，则 I a + b + c I=. 结果：2 2 ；一 2 一一(3)若O是ABC所在平面内一点,OB - OC = OB + OC - 2OA1,则 ABC 的形状为.结果：直角三角形；(4) 若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，濡足PA + BP + CP = 0，
8、设J_APi = 1，则九的值为IPDI结果：2;(5) 若点O是ABC的外心，且OA + OB + CO = 0，则ABC的内角C为. 结果：120。.向量的数乘遵循加减法法则.一 一一(iii)坐标形式设 a = (x , y ) , b = (x , y )，则有1 1 2 2( 1)向量加减法a 代=2, a - b =.推论：若 A(x , y ) , B(x , y )，贝U AB =.1 1 2 2举例8(1)已知点A(2,3)， B(5,4)，C(7,10)，若AP = AB + 1 AC (1 g R )，则当1=时，点P在第一、三象限的角平分线上.结果：(2) 已知 A(2
9、,3)， B(1,4)，且 AB = (sinx,cos y)， x, y g (一：,：)，则 x + y =.结果：十或 一 ；(3) 已知作用在点A(11)的三个力F = (3,4)，F= (2,-5)，F = (3,1)，则合力F = F + F + F的终点坐标是.结果：(9,1).(2) 数乘运算:匚匚一二1a = 1(x , y ) = (1x ,1y ) .1 1 1 1举例 9 设 A(2,3)，B(-1,5)，且 AC = AB， AD = 3AB，则 C,D 的坐标分别是. 结果：(1十),(-7,9).3. 询量的运算律(1) 交换律：a +b = b + a，1 (卩
10、 a) = (1卩)a， a - b = b - a ；(2) 结合律：a + b + c = (a + b) + c， a 一b 一c = a 一(b + c)，(1a)b= 1 (a -b) =a -(1b)； (3) 分配律：(1 + 卩)a =1a + pa，1 (a + b) = 1a + 1b，(a + b)-c = a -c + b -c .举例 13 给出下列命题： a - (b - c) = a - b - a - c : a - (b - c) = (a - b) c ；(a - b )2 =| a b -21 a II b I + I b I2 ；ffff77*f丁 若
11、a - b = 0，则 a = 0 或 b = 0 ；若 a:b = c :b则 a = c ； IN b = a2 : b ；(a- b)2 = a2 - b2 :(a - b)2 = a2 - 2a - b + b2 .a 2 a其中正确的是._ -纟结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时 取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a - (b - c)工(a -b) - c，为什么？F、向量的线性运算中常
12、用结论一一一 一一一1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2. 模的性质：(1) 右边等号成立条件：；(2) 左边等号成立条件：；(3) 当且仅当 a、b 不共线时，有 I a I -1 b II a + b II a I+ b . I3. 点P分有向线段PP所成的比1 -12设点P分有向线段PP所成的比为1，则有：1 2(1)定比分点公式_(i) 坐标形式：(ii)向量形式：若M为平面内的任一点，则MP = MP11MP2推论 ABC中若点D分有向线段BC所成的比为入，则AD =盍AB+右AC-证明：D分有向线段BC所成的比为九，.BD = Zdc ,. AD - AB
13、 = X( AC - AD), AD = 1 AB +入AC .1 +九1 +九(2)线段中点公式-一 一 一(i)坐标形式：.(ii)向量形式：P为有向线段PP的中点o MP = MPi+ MP2 .1 2 2(3) 三角形的重心(i) 坐标形式：若AABC三个顶点坐标为A(x , y )， B(x , y )， C(x , y )，则1 1 2 2 3 3 ABC重心G坐标为.(ii) 向量形式：设P为平面内任一点，贝ljG ABC 重心 o GA + GB + GC = 0 o PG = 3(PA + PB + PC).提示：当G为AABC重心时，二 AG与 BC边交于点、D 则AG =
14、 2GD 延长GD至E，使得GE = GD，则得平行四边形BGCE , AGB + GC = GE，又 GE = AG，A GB + GC = AG，即 GA + GB + GC 込 _,3,4 J5A3反之，当GA + GB + GC = 0时，将上述过程反过来，即得点G为AABC重心.举例 19若AABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(-3,4)、C(-1,-1)，则AABC的重心的坐标为题型示例例1如图，A ,A , ,A是圆O上的八个等分点，则在A ,A , ,A以1 2 8 1 2 8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍的向量有多少个？结果：各有 16 个.例2在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC，DC的中点，G为BF和DE的交点，若AB二a，AD 二 b，试以 a,b 表示 DE， BF， CG . f111结果：DE = a - b， BF = b - a， CG = - (a + b) 223例3 设e ,e是两个不共线的向量，已知AB = 2e + ke，CB = e + 3e，CD = 2e -e .若A,B,D三1 2 1 2 1 2 1 2点共线，求k的值.一
