《几个常用函数的导数(老师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几个常用函数的导数(老师版)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.2.几种常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目的 1.能根据定义求函数yc（c为常数),y，y=x2，y=，=的导数2.能运用给出的基本初等函数的导数公式求简朴函数的导数.知识点一几种常用函数的导数原函数导函数f（x）=c(c为常数)f(x)(x）=xf(x）1f（x)2f(x)=2x（x）=f(x)=-f(x)f(x)=思考 （1）函数f(x)=c,()x，f（x）=x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么?(2)函数f()=导数的几何意义是什么?答案 （1)常数函数f(x)c:导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴，斜率为0；当=c表达路程
2、有关时间的函数时,y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即始终处在静止状态.一次函数(）x:导数为,几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1,当表达路程与时间的函数,则y1可以解释为某物体作瞬时速度为的匀速运动;一般地，一次函数=kx：导数yk的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为，|越大，函数变化得越快.二次函数(）2:导数y=2x，几何意义为函数=x2的图象上点(，y)处的切线斜率为x，当y=x2表达路程有关时间的函数时,y=2x表达在时刻x的瞬时速度为2.(2)反比例函数（x）：导数y,几何意义为函数=的图象上某点处切线的斜率为.知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数(）=c(c为
3、常数）f（x)f（x）x(*）f(x)x1（x）=six(x)co xf(x)cos xf(x)=-inxf(x)axf()xl a(a,且a)f(x)ef(x）=exf（x）axf()=(0,且1)f(x）l (）思考 由函数=x，y=x2的导数,你能得到y=（Q*）的导数吗?如何记忆该公式？答案 因x，得y=1；y=x2，得y=2x,故yx的导数x-,结合该规律,可记忆为“求导幂减1,原幂作系数”.题型一 运用求导公式求常用的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数:(1)y=;（)；(3)ys ;（）y2x.解(）y=(x5）-5x-； ()y=；（3)=0; ()=(22)（4x)4ln
4、 4反思与感悟求简朴函数的导函数的基本措施：（1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、减少运算难度.解题时根据所给问题的特性,将题中函数的构造进行调节，再选择合适的求导公式.跟踪训练1求下列函数的导数:（）=x8；（2)yx；（3）=x；(4）y.解 ()y=x7； (2）y=xln -n 2；(3)y=，=； (4） y=-.题型二 运用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y=nx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程.解ysin x，ycos x,曲线在点P处的切线斜率是：y|os.过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y=-,即2xy0
5、反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为-(在其斜率都存在的情形下).跟踪训练2已知函数()x-4x25x4（)求曲线（x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2)求通过点(2，-2)的曲线f（x）的切线方程.解(1)f(x)=3x28x5,f(2)=1.又f(2)2，曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y（2)=x-，即x4.（）设切点坐标为(x0，x5x4)f（x0)=3x-x5,切线方程为y-（-2)=(x8x05)(x2).又切线过点(x0，4xx04)，x4xx-(8x+5)(x-2).整顿得（02)(x0）=,解得x0=2或x0=1
6、.当02时,(x0)1,此时所求切线方程为x-y=0;当x01时，f(0）0，此时所求切线方程为y2故通过点(，2)的曲线f(x)的切线方程为-40或y+=0.在运用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3求函数y的导数.错解=，=，故y错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形,从而导致得到错误的成果.正解 y，y=.防备措施 精确把握根式与指数幂的互化：=,=.1.设曲线yaxln(x+1)在点(，0)处的切线方程为=2x，则a等于(）A.0 B.1C.2 .3答案 D解析令(x)=an（x1),则f(x)a-.由导数的几何意义,可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0）a-1又
7、切线方程为y2x，则有a1=2，a3.函数f(),则(3)等于( ）A. B.0 C D答案 A解析 (x）=()，f(3)=.3给出下列结论:=sin =-; 若,则y=-2x3；若(x）x，则 f(1）3; 若y=，则y.其中对的的个数是( ). B.2 .3D.答案A解析 co 为常数，则0，因此错误;y=(x）23，因此对的；由于f(x）3x，因此(x)3,因此f(1)=,因此错误；y=(）=,因此错误.4.曲线y在点（2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .答案e2解析(ex)=ex，ke2,曲线在点(2,2）处的切线方程为y2=e2（-2）,即ye2x-.当x=0时,ye,
8、当y=0时,x=S=1=e.求下列函数的导数：(1）y=；(2)y=解(1)y=（3）3x-1=3x-4.()=()=1.运用常用函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其核心是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观测函数的构造特性,积极地进行联想化归2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求=2sin2 的导数由于y=1-2sicos ,因此y(co x）=sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化一、选择题1.设直线yxb-1是曲线=lnx(0)的一条切线,则实数b的值为( ).1-l B. 2 .n D.2答案 C解析设切点为(,y0),根据
9、导数几何意义，得,解得x2，代入曲线方程得y02.故切点为(，ln2)，将该点坐标代入直线方程得l 2=2+b-1,解得bln 2,故选.2.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4，则点P的坐标为( )A. B.或C D.答案解析y=-4,x=,故选B.已知(x)xa,若（-)4,则a的值等于(）A. B. C. D.5答案 A解析 f()=aa-1，(-1)a(-）14，a.4.函数f(x)x3的斜率等于1的切线有( )A.1条 B.2条C.条 .不拟定答案 B解析（)=3x,设切点为（x0，y0),则3x1，得x0=，即在点和点处有斜率为的切线.因此有2条切线.5.已知直线=kx是曲线=ex
10、的切线,则实数k的值为( ）A B.C.e D.e答案解析 y=e，设切点为(x0，y0),则ex=ex00，x0=,k=e.已知(x）x,g(x)=ln x，则方程f(x)+g（x)的解为()A.B .-或 D.1答案 解析由(x)ln x，得x,且g(x)=故2x1,即2x+x-10,解得x或x=1又因x，故x=（x1舍去)，选B.7.某质点的运动方程为=(其中的单位为米，t的单位为秒),则质点在t=3秒时的速度为（ ）A.-34米秒 B.-4米秒C.53-5米/秒 D35米/秒答案 解析由s=得=（）=4t5.得s|=3=-43-，故选D.二、填空题8曲线在点(3，3)处的切线方程是 .
11、答案xy6=0解析y，yx=3=-，过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为3=-(x-)，即xy6=.9.若曲线y=在点（,）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a .答案64解析 y=,y-,曲线在点(a，)处的切线斜率k=,切线方程为- （x-a)令x=得=;令y0得x=.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为=3a，a=6410点P是曲线ye上任意一点，则点到直线yx的最小距离为 .答案解析 根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线yex相切于点(0,y）,该切点即为与yx距离近来的点，如图.则在点(x，)处的切线斜率为1,即y|1. （e)=，ex0=1，得x00,代入y=ex
12、，得y0，即P（,)运用点到直线的距离公式得最小距离为三、解答题1.求下列函数的导数:(1)y=；（)y；(3)y=-2sn ；(4)y=logx2-lg2.解 (1)y=.(）y=(x-4）-4x4-14x-5-.(3）=2ini = cos=si x，y=(sin x)=os x.(）ylo2x2-ogxlo2x,y（gx).1.已知f（x)=cs x，g(x),求适合f(x)+(x)0的的值.解 f(x)cs ,(x),f()=（sx)=sin x，g(）x=1,由f(x）+g(x)0，得-sin x+0,即sin x1,但sin x1,six1,x2k+,kZ.3.设f0()=s ，f1(x)f0(),f2（x)f(x），f+()n(x)，
