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1、专题 11 数列求和方法之分组并项求和法一、单选题1.已知数列a 满足a =n1a = 10，且a3n +1- a 是等比数列，则28na = (ii=1A376B382C749D7662.若在边长为1的正三角形ABC的边BC上有n ( n 2 ,n g N* )等分点，沿向量BC的方向依次为P,P，,P ，记T = AB - AP + AP - AP + AP - AC ,1 2n 一1n112n 一1232 ；则T的值可能的共有()33 n若给出四个数值：29T ；io ；91 197io，口78A. 0个BTf个c. 2个D.3个3 .若数列a 的通项公式是a = (1)n+1(4n +
2、1)，则a + a +nn1112+ a =21A. 45B. 65c. 69D.105二、解答题4.设a 为等差数列，b 是正项等比数列，且a = b = 2,nn11=2b 在 b 一 b = 12b ,2531 a + 2 = b ,54这两个条件中任选一个，回答下列问题：(1) 写出你选择的条件并求数列a 和b 的通项公式；nn(2) 在(1)的条件下，若c = a + b C g N*)，求数列c 的前n项和S .5 .已知数列an中，已知竹n n nnn1，a2 = a，an+=k(an+an+2)对任意nDN*都成立，数列an的前n项和为Sn(1) 若a是等差数列，求k的值;(2
3、) 若 a=1, k= 2，求 Sn6.在数列a 中，a = 2， a = 5a 一 4n +1， n g N *.n1n +1n(1)证明：数列a -n是等比数列;n(2)求a 的前n项和S .nn7已知正项等比数列an 的前n项和为S，且满足S 2 + a2是2ai和。4的等差中项，ai = 2(1)求数列a 的通项公式;n(2)令b = log a + a ，求数列b 的前n项和T . n 2 2n2 nnn8. 在S = 35 ,3a + a = 10 ,a = 3n + a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.513n+11已知d 是各项均为正数的等差数列，其前n项和为S ，
4、且a , 1 a4， a成等比数列.nn12 49(1) 求数列a 的通项公式；n(2) 设b =(la，求丫 b .nnii=19. 已知数列a 是等差数列，S是其前n项和，且a =2, S =12 .nn13(1) 求数列a 的通项公式n(2) 设b =a +4n，求数列b 的前n项和T .n nnn10. 已知等差数列a 的公差为d(d丰0)，前n项和为S，且满足a = 15，a，a，a成等比数列.nn8125(1) 求数列a 的通项公式；n(2) 若b =丄，求数列a + b 的前n项和T .n 2 nn nn11. 已知a 是等比数列，a = 3，a = 24 .数列b 满足b =
5、1，b4 = 8，且a + b 是等差数列.n14n14n n(1)求数列a 和b 的通项公式；nn(2)求数列b 的前n项和.n12.设数列a 的前n项和为S，且S +n = 2a 2.nnnnn2，求数列a + b 的前n项和T .nn(1) 证明数列a +1是等比数列，并求出数列a 的通项公式;n(2) 若数列b 中，b = 2，b = bn1nn +113. 已知a 是公差不为零的等差数列，n(1) 求数列a 的通项公式；n(2) 求数列2an + 2a 的前n项和S .n14. 已知数列a 满足奇数项a , a , an13a (n g N*)，且a = 2， a = 1，(2 n1
6、2a3，a9成等比数列.n5成等比数列aC G N J，而偶数项a a a6成等差数列246a + a = a，a + a = a，数列a 的前n项和为S .243465nn2n1()求a ；n()当a 1)，b二a +1 - 2n，且有_(n e N *).(注：如果选择多个条件分别解nnn答，那么按照第一个解答计分)(1) 求证：b二2心；n(2) 求数列a 的前n项和为S .nn16.设S是数列a 的前n项和，已知a二1，S二2 一 2ann1nn +1(1)求数列a 的通项公式;n设bn=S叫3,217.已知等差数列a 中，n求数列b 的前n项和T .nnlg (a + a ) = 1
7、，且 lg a + lg a 二 lg (a + a )121324(1)求数列a 的通项公式;n(2)若q,a ,a6是等比数列b 的前3项，求k的值及数列a + b 的前n项和S1 k 6nn nn18.已知数列a 的前n项和为S = n2 + n .nn(1)求数列a 的通项公式；n若bn(1 )an+ n12丿求数列b 的前n项和T .nn19.已知数列a 中, ai = a, a2 = 2, S为数列a 的前n项和，若对任意的正整数n都有S =叫) n12nnn2(1) 求a的值；(2) 试确定数列a 是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；n(3) 记Pn = +
8、，求数列P 的前n项和T .n SSnnn +1 n + 2(4) 记C = T - 2n是否存在正整数使得不等式C M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存n nH在，说明理由.20.已知数列匕的首项ai二5 ,冇广右n(1) 求证：数列 1为等比数列；an111(2) 记S =一 + + +，若S 2,n g N*)，数列b 中，a二2b二2 .nnnn -1n11(1)求a 的通项公式；n(2)若b2二b2 1 +1, b广b + a，求数列b 的前10项和.2n2n12 n+12 nnn25.已知有限数列an,从数列an中选取第i1项、第i2项、第im项(“/2. Vim),顺次排列构
9、 成数列aj,其中bk=ak，1km，则称新数列bk为an的长度为m的子列规定：数列an的任意一项 都是an的长度为1的子列.若数列an的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列an为完全数列.设 数列a满足 a“=n, 1n25，nN*.()判断下面数列an的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列(1)： 3， 5， 7， 9， 11；数列 (2)： 2， 4， 8， 16.()数列an的子列a长度为m,且bk为完全数列，证明：m的最大值为6；11111()数列an的子列ak长度m = 5，且bj为完全数列，求 +庆+夕+庆+庆的最大值.12345三、填空题41. 数列a 的通项公式a二2nc
10、os2罕n，其前n项和为S，则S 二 .nn4n202142. 已知数列a 的前n项和为S , a = 1。丄=2a + 2，则S的值为nn 2n1n543. 在数列a 中，若a = 1,a + (1)na = 2，记S是数列a 的前n项和，则S二.n1n+ 2nnn10044. 已知等差数列a 中a二d二1, b = tan a - tan a (n g N*)，则数列b 的前n项和S =.n 1nnn +1nn45. 已知数列a的前n项和S = 2n,n g N* 求数列a的通项公式为.设b=2a+ (1)”a,nnnn nn求数列b 的前2n项和T =.nn46.已知数列a 满足a =
11、2n 1, S为a 的前n项和，记b = S cosnnnnn nn n项和为Tn，则T5o =47.设S为数列a 的前n项和nna1 = 0，若 an+1 =L1 + (1)an + (-2) n( n G *)，则 S1oo =四、双空题48.已知数列a 的前n项和为S，且a = 2 , a = a + ，则S =nn1n +1 2 n 2n；若S na + 21恒成n n 2立，则实数t的取值范围为49.设数列a 中，a = 1, a = (n1n+1n nn+1e N *),则a5 =，数列前n项的和S =.n2,贝 y a1=； S12 二50.已知数列a 的前n项和为S，满足a,（a + l）（a +1）nn3 3n +1
