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1、习题四参考答案1一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为计算束缚电荷的体密度和面密度；自由电荷体密度；球外和球内的电势；该带电介质球产生的静电场的总能量答案：， 提示：， 因为，所以 因为电荷分布具有球对称性，所以可以由高斯定理求电场强度E，再求 两种方法都可以求解 ，V是电荷分布的球区间。 或者， ，这里V是电场分布的全空间导体内有一半径为R的球形空腔，腔内充满电容率为的均匀电介质，现将电荷量为的点电荷放在腔内离球为处，如图所示，已知导体的电势为零，试求：腔内任一点的电势；腔壁上感应电荷量的面密度；介质极化电荷量的密度和面密度解：用电像法求解设导体不存在，整个空间都充满了电容率为的均匀介
2、质，像电荷使腔壁电势为0解之得 由此得介质内任一点的电势为腔壁上感应电荷量的面密度为介质内极化电荷量的密度为 介质表面极化电荷面密度 接地的空心导体球内外半径为和，在球内离球心为处置一点电荷，求空间的电势分布导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？答案：，分布在内表面感应电荷不等于像电荷提示：该题的解法与例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。上题的导体球壳不接地，而是带电荷，或使其有确定的电势，试求这两种情况的电势又问和是何种关系时，两情况的解相等？答案：提示：由叠加原理，本题可以看作3题再叠加一个均匀带电球面，球面带电为，或者球面电势为所以或者，当时，两种情况的结果相等在处和处有两
3、个互相垂直的无限大导体面，设有一点电荷从无限远处准静态地移至，z=0处，试求电荷在这位置上所受的电场力及移动中外力所做的功答案：q受到的力为3个像电荷的力外力的功 为q所在点感应电荷电势所以设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体。取该两平面为xz面和yz面，在（x0,y0,z0）(x0,y0,-z0)两点分别置正负电极并通以电流I，求像电极的坐标答案：像电极的电荷量为在接地的导体平面上有一半径为的半球凸起，半球的球心在导体平面上，点电荷位于系统的对称轴上，并与平面相距为，如题图求空间的电势题图答案：有三个像电荷，空间的电势是及三个像电荷电势的叠加9有两个无限大的平行导体平面，它
4、们的法线平行于轴，其中一个位于处，电势固定为；另一个位于处，电势固定为，两平面之间充满电荷，电荷密度为，式中是常量，如题图4.2所示，试用泊松方程求区域内的电势分布和每个平面上的电荷量的面密度解：两面间电势满足泊松方程由对称性积分并利用边界条件 ，或 两面间电场强度两面上电荷量的面密度 ，和 10均匀外电场中置入半径为的导体球。试用分离变量法求下列两种情况下空间的电势分布： 导体球上接有电池，使球与地保持电势; 导体球上带电荷. 答案: ; .解: 以球心为坐标原点，设原点处原来电势为，问题具有州对称性. 的定解条件为 （） 由拉普拉斯方程的通解和定解条件为 再由得 的定解条件为 （） （未知
5、常数，导体是等势体） 但是知道导体球带电量，即 可解得 则 .11均匀外电场中置入半径为的导体球. 证明在与外场平行的方向上，导体球面受到的静电张力等值反向，因而有分裂成两半的趋势。解：如上题解，并且设导体球电势为零，则球外电势分布为 导体球面处的电场强度为 为的方向。于是它表面受到的静电应力密度为 在时，即与作用外场平行的方向上力密度最大。将上式的分解为三个直角分量，并且对两半球面积分，得两半球面受到的力分别为 当 当两者等值反向，因而导体球有分裂成两半的趋势。12. 在均匀外电场中置入一带均匀自由电荷的绝缘介质球（介电常数），求空间各点的电势。解：设球外电势为，球内电势为，则有由迭加原理，是拉普拉斯方程解，是均匀带电球解，故，由边界条件得R0，有限所以
