广东省重点中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理

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1、高二级期末考试数学(理科)试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知全集UR,集合Ax|3x7,Bx|x27x100,则R(AB)等于()学优高考网gkstkA(,3)(5,)B(,3)5,)C(,35,) D(,3(5,)2若,则下列结论不正确的是A B C D3一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为,则 ( ) A B. C. D. 4. 设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和已知a2a41,S37,则S5( )A. B. C. D. 5. 已知如右程序框图,则输出的是( )A9B11C13D6已知是

2、三角形的一个内角,且,则方程表示( ) A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆 C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线7方程|x|(x1)k0有三个不相等的实根,则k的取值范围是()A. B. C. D. 8对于任意实数,符号表示的整数部分,即是不超过的最大整数,例2=2;=2;=, 这个函数叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 的值为( )A21 B76C264 D642二、填空题( 每小题5分,共30分)分数9在ABC中A=60,b=1,SABC=,则=_.10. 为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题,

3、他们所得分数的分组区间为,由此得到频率分布直方图如右上图,则这些学生的平均分为.11. 已知,则不等式的解集是 12. 设等差数列的前项和为,若,则的最大值为_.13. 设点为坐标原点,,且点坐标满足 ,则的最大值为 。14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,为焦点,为抛物线上的三点,且满足,则抛物线的方程为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题12分)设命题p:实数x满足,其中,命题q:实数x满足(1)若,且pq为真,求实数x的取值范围;(2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围16(本题满分12分)已知,函数()求函数

4、的最小正周期;()已知,且,求的值17(本题满分14分)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1E中,点在棱AB上移动.(1)证明:; (2)当为的中点时,求点到面的距离; (3)等于何值时,二面角的大小为.18(本小题14分)如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC,其中OAE 是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边AE满足函数 )的图象,且点M到边OA距离为(1)当时,求直路所在的直线方程;(2)当t为何值时,地块OABC在直路不含泳池

5、那侧的面积取到最大,最大值是多少?19(本小题满分14分)已知如图,椭圆方程为.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点,当点P不在x轴上时,过F1作F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M,当点P在x轴上时,定义M与P重合(1)求M点的轨迹T的方程;(2)已知、,试探究是否存在这样的点,是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且OEQ的面积?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由一、选择题:BABC CBDC二、填空题9. 10. 64 11. 12. 4 13. 14. 三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题12

6、分)解:(1)由x24ax3a20得 (x3a)(xa)0,所以ax3a, 2分当a1时,1x3, 即p为真命题时,实数x的取值范围是1x3. 3分由解得即2x3.所以q为真时实数x的取值范围是2x3. 5分若pq为真,则2x3, 所以实数x的取值范围是(2,3) 7分(2)非p是非q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件, 8分 设Ax| ax3a,Bx|2x3,则B A. 10分所以03,即1a2. 所以实数a的取值范围是(1,212分16(本题满分12分)解:2分 4分6分函数的最小正周期为8分()由,得 10分, 11分 12分17(本题满分14分)解:以为坐标原点,直线分别为轴,

7、建立空间直角坐标系, 1分(并在答题卷中作出图像) 设,则 2分ABCDA1B1C1D1E (1) 4分(2)因为为的中点,则,从而, 5分设平面的法向量为,则 6分也即,得,从而, 8分所以点到平面的距离为 9分(3)设平面的法向量, 10分由 11分令, 12分依题意 13分(不合,舍去), . 时,二面角的大小为 14分(立体几何证法按每到小题分数给分,具体步骤合理给分)18(本小题14分)解:(1) 5分(2)设,6分过切点M的切线即 ,7分令得,故切线与线段AB交于点;9分令,得,故切线与x轴交于点。10分又在递减,所以 故点在线段OC上 地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形,1

8、2分面积,13分当且仅当时,。14分19(本小题满分14分)解:(1)当点P不在x轴上时,延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM, M是线段的中点,|-2分 = =点P在椭圆上 4,-4分当点P在x轴上时,M与P重合M点的轨迹T的方程为:.-6分(2)连结OE,易知轨迹T上有两个点A,B满足,分别过A、B作直线OE的两条平行线、. 同底等高的两个三角形的面积相等符合条件的点均在直线、上.-7分 直线、的方程分别为:、-8分设点 ( )在轨迹T内,-9分分别解与得 与 -11分且为偶数,在上对应的在上,对应的-13分满足条件的点存在,共有6个,它们的坐标分别为:-14分(2)由题设得 (A)且 (B)由(A)(B)得: 解得(舍去)或;由,若这与矛盾,即是以1为首项,1为公差的等差数列,; 10分(3)证法(一):运用反证法,假设则由(1)知,而当这与假设矛盾,故假设不成立,.14分证法(二):由得0或结论成立;若,此时从而 即数列在时单调递减,由,可知上成立.14分

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