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1、实验一无限时间状态调节器问题的最优控制MATLAB仿真1. 实验目的：(1)通过上机操作，加深最优控制理论知识的理解。(2 )学习并掌握连续线性二次型最优控制的MATLAB实现。( 3 ) 通过上机实验，提高动手能力，提高分析和解决问题的能力2. 实验步骤：1)实验一中的状态方程如下：-01、0 -x =001x +0-1-4-61u2)0 olex = u (t)1x = x (t)22x (0) = 0 1x (0) = 02y = 1根据状态方程(1 )令输出量y(t)=X(t),写出对应的A,B,C,D矩阵如下：00 -A=B=_010C = h o D = 0根据状态方程( 2)，写
2、出对应的 A,B,C,D 矩阵如下：010 一0_A=001B=0-1-4-61C = 11 0 0 D=0( 2) 判定上述两个系 统的可控性，分别求 的第一个系统的秩判 据 rank b AB=12，因此对应的系统不完全可控，所以无法设计对应的状态调 节器。第二个系统对应的秩判据rankB AB A2B =3，满足条件，因此可设计 出对应的状态调节器。3)根据从系统中得到的四个状态矩阵，由于是三维矩阵，对应的 Q 矩阵也为三维矩阵，取性能指标为：J = 2（xtQx + uTRu）dt，其中矩阵Q的对角线上 0的值分别为：Q11、Q22、Q33，令R=1,则接下来就是通过改变Q11、Q22
3、、Q33 的值，即三个状态量在整个性能指标所占比重，来找到一组比较合适的数 以使控制效果相对最优。（4 ）运用Matlab编写M-file求出对应不同Q矩阵权重值的控制向量K， 改变权重，便可得到不同的控制向量K，比较对应得到的阶跃响应信号及状态量 的变化曲线，分析实验结果。（5）由得到的控制向量K，可知 :u = - Kx。 结合状态方程，便可画出系 统框图，在这里可以用 Matlab 自带的 Simulink 工具箱完成，完成结构图后，便 可在输入端加入阶跃信号和随机干扰信号，观察系统的性能，包括动态性能和稳 态误差等系统参数。（6）重复上述步骤，得到一系列的控制向量K，总结规律，得到比较
4、合适 的权重Q，并推断能使性能优良的Q的取值范围。3、完成的实验内容：（ 1）首先编写实验程序，输入的系统各个矩阵 A,B,C,D ，改变权重，便可以 得到对应的控制向量，其程序代码如下：(2)给出不同的权值矩阵 Q 以后，运行上述程序，便得到不同的响应曲线，在此例中由于输出量：(t)二x (t)，所以应该把状态量x (t)的对应权重取得较大，分别取全职矩阵 Q 的值依次如下：Q4Q510Q610010000_200003000010Q 二010Q 二0102300100100105005005000000Qi =(3 )运行程序便可得到有上述Q对应的控制向量K ,其对应值如下k 二9.049
5、918.3395 1.3266k = 1 3. 1 1 7 421 0. 9 1 6 01. 6702k 二6.3494312.7072 1.9003k =21. 383041 5. 3 1 7 32. 2 2 4 0k =41.3180515.5862 2.2576k =21. 383061 8. 0 6 3 92. 5 5 1 5并且得到了对应的响应曲线如下：Q=Q对应的状态变化曲线和输出响应曲线1Q = Q对应的状态变化曲线和输出响应曲线2Q=Q对应的状态变化曲线和输出响应曲线Q = Q对应的状态变化曲线和输出响应曲线4Q = Q对应的状态变化曲线和输出响应曲线5Q = Q对应的状态变化
6、曲线和输出响应曲线6从上面得到的响应曲线可以看出，改变权重值相应的阶跃响应变化不大，但是这 并不能代表他们的性能相似，任意的权值都能达到使系统性能满足要求，其实不 然，下面对系统加入单位矩阵脉冲干扰，可以发现他们的响应发生了一定的变化， 很容易区分其中的优劣指标。(4 )已知，利用lqr()函数可以求出对应的控制向量K ,下面讨论，不同的K值 作用系统后，对于干扰信号不同的输入点得到下列响应曲线，便可知不同的 K 决定了系统抗干扰能力的强弱。利用Simulink画出系统结构框图如下：/s-ddIn iH-atlHJCH-I nt H -EFB-t-orSI n LarErB,ba 1Scope
7、St*p1iZln4呂氏口0i niFilr Edit Vit-wTools- Ht-lpSimulatio-n rorrnMCn | * hi mb 05. |1 p 1 |lo. oiTazrnh曲a :Q Q1 对应的干扰信号响应曲线Q = Q3对应的干扰信号响应曲线由上面列出的各个 Q 对应下的响应曲线可以看出，当干扰信号加在输出端时， 都会经历一次振荡才能回复到初始零状态，但是当Q中Q11 ,即对应的输出状 态量权重加大时，输出的响应曲线明显得到了改善，振荡现象减弱，超调量减少， 且，整个调节时间也缩短了，所以，由以上分析可知，如果输出量就是某个状态 量，则再设计反馈控制器的时候就优
8、先考虑它的权重，这样当受到干扰时，就能 够很快的恢复到零状态，即，当Q11从100到500变化时，显然，对应的输出 响应曲线得到了一定的改善。实验二无限时间跟踪问题的最优控制MATLAB仿真1. 实验目的(1) 通过上机操作，加深最优控制理论知识的理解。(2) 学习并掌握连续线性二次型最优控制的 MATLAB 实现。(3) 通过上机实验，提高动手能力，提高分析和解决问题的能力2. 实验步骤：1 )实验系统状态方程如下：X = x (t)12X = u (t)x (0) = x11 0x (0) = x22 0y(t) = xi(t)性能指标为：2:+ u 2(t)dt根据状态方程求出它的各个矩
9、阵：01 -A 二B 二001C = h o D = 0(2)判定上述两个系 统的可控性，分别求 的第一个系统的秩判 据rank b AB=2，因此对应的系统可控，可以设计对应的状态调节器。(3 )根据从系统中得到的四个状态矩阵，显然，对应的Q=1，取性能指 标为：1 f-i (t)-Y(t)1 + U2(t丄，令R=1,则接下来就是通过改变R的值，控2 0 r 制量在整个性能指标所占比重，来找到一组比较合适的数以使控制效果相对最优(4 )运用Matlab编写M-file求出对应不同R权重值的，改变权重，得到不 同的B，P，g三个矩阵，并得到对应的阶跃响应曲线，再根据式可以求得近似 最优控制u
10、 (t)，比较不同的R对应得到的阶跃响应信号及状态量变化曲线，分析实 验结果。U*(t )=-R- BtPX t( H)R- BTg(5 )由得到的近似最优控制U(t)。结合状态方程，便可画出系统框图，在 这里可以用 Matlab 自带的 Simulink 工具箱完成，完成结构图后，便可在输入端 加入阶跃信号和随机干扰信号，观察系统的性能，包括动态性能和稳态误差等系 统参数。(6 )重复上述步骤，总结规律，得到比较合适的权重Q，并推断能使跟踪 性能优良的 R 的取值范围。3. 完成的实验内容：(1 )首先编写实验程序，输入的系统各个矩阵A,B,C,D，改变权重，便可 以得到对应的控制向量，其程
11、序代码如下：上述程序完成的功能是：已知A,B,Q,R，求出控制向量P ,g ,B，利用lsim() 得到对应的阶跃信号状态响应和输出响应，并利用plot()画出输出量的阶跃响应 变化曲线以及X中两个个状态量的变化曲线。(2 )利用Simulink画出系统结构框图如下：其中输入为单位阶跃信号，它经过对应的增益后与控制量u(t)相加，而控制量是 将求得的P，g，B矩阵带入上述的式中，便可得到控制量与状态量之间的关 系式，这样输出信号在P，B，g变化时便会有不同的响应曲线，其跟踪性能也 就不同。(3),给出不同的R，计算出对应的P，B，g矩阵，然后计算出上述系统结构图中的增益量，便可得到输出响应曲线
12、，下面为不同的 R 值对应的响应曲线：R=1R=0.5R=0.3R=0.1R=0.05从以上改变 R 的权值得到的不同的跟踪曲线，很明显的发现，随着 R 的减小，跟踪效果越来越好，调节时间越来越短，究其原因，是因为r越小，就是表 示越少的考虑控制量能耗的权重，以下为控制量在不同 R 权重下的波形，便可以看出控制量的变化规律：R=1R=0.5R=0.3R=0.1从上列各图中可以看出，随着R的减少，控制量u(t)也发生了变化，它是逐渐变大的，即耗能是逐渐变大的，所以要想得到很好的跟踪效果就必须消耗更多 的能耗才能得以实现，控制量必须要更大的代价才能将输出量与输入量拉近，跟 踪效果越好，说明系统的滞后效果就越消弱，这样对于一个实时性要求很高的系 统来说，是非常有必要的，然而这种一状态未反馈量的控制系统都存在一个很大 的瓶颈，就是状态量必须能得到，即系统必须可观，否则就无法实现控制其的设 计，其次，系统可观也不一定能直接设计出控制器，因为系统中可能存在状态量 不能直接测量，这时就需要状态观测器来得到对应的状态估值，所以在实际应用 中多为理论依据来指导设计实际的控制器。
