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1、新版数学北师大版精品资料温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五)空间图形的公理(公理4、定理)一、选择题(每小题3分，共18分)1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】选B.假设a与b是异面直线，而ca，则c显然与b不平行(否则cb，则有ab，矛盾)，因此c与b可能相交或异面.2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A.平行B.相交C.异面
2、D.平行或异面【解析】选A.因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EFPN.同理可证HGPN.所以EFHG.3.(2014焦作高一检测)有下面说法：若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是()A.0B.3C.2D.1【解析】选D.中a，c异面、平行、相交都可能，只有正确.【拓展延伸】学好立体几何的好帮手长方体模型长方体是立体几何中常见的模型之一，许多点、线和面的关系的例子可以从中寻找，我们的教室就可以抽象成一个长方体，墙角是长方体的顶点，墙面是长方体的面，墙的边就是长方体的棱，学会从长方体中寻找位置关系是学习立体几何必
3、备的数学素养.4.(2014阜阳高一检测)如图，空间四边形ABCD中，AE=2BE，BF=CF，CG=2GD，DH=AH，则四边形EFGH为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形【解析】选A.由题意=，=，所以=，所以EFAC，同理HGAC，所以EFHG.所以四边形EFGH为平行四边形.5.如图，平面与平面交于EF，CEF，CEF，AC，AC，BC，BC，且ACAC，BCBC，BCA=120，则BCA=()A.0B.60C.120D.60或120【解析】选C.结合图形，由ACAC，BCBC，根据定理，有BCA=BCA=120.6.(2014济源高一检测)四面体S-ABC中，各个侧面都是边长
4、为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于()A.90B.60C.45D.30【解析】选C.取SB的中点G，则GE=GF=，在SFC中，EF=a，所以GE2+GF2=EF2，所以EFG=45.故选C.【拓展延伸】构造异面直线所成的角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).(2)当异面直线依附于某几何，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.(3)当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来计算.二、填空题
5、(每小题4分，共12分)7.如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有_对.【解析】六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有46=24(对).答案：248.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成的角为_.【解析】如图，因为BCB1C1，所以ACB为异面直线B1C1与AC所成的角(或其补角).因为ABC=90，AB=BC=1，所以ACB=45，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45.答案：45【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，AA
6、1=2，则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为_.【解析】如图，连结B1D1，AD1.因为BDB1D1，所以AB1D1为异面直线BD与AB1所成的角(或其补角).在AB1D1中AB1=AD1=，B1D1=，所以cosAB1D1=.答案：9.四面体P-ABC中，PABC，E，F分别为PC，AB上任一点，若EF与PA，BC所成的角分别为，则+=_.【解析】本题可利用特例法.如图，若E，F为中点时，取AC的中点M，连接EM，FM，所以EMPA，FMBC，所以FEM=，EFM=，因为PABC，所以EMFM，所以+=90.答案：90三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014南昌高一检测)在正方
7、体ABCD-ABCD中，E，F，G分别是棱CC，BB，DD的中点，求证：BGC=FDE.【证明】连接BD，BD，在平行四边形BDDB中，G，F分别为DD，BB的中点，易知GBDF，在平行四边形CCDD中，因为G，E分别为DD，CC的中点，易知GCDE.又因为BGC和FDE方向相同.所以BGC=FDE.11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，E，F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，因为E是BD1的中点，所以EGBC，EG=BC.因为F是AD的中点，且ADBC，AD=BC，所以DFBC，DF=BC，所以
8、EGDF，EG=DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EFDG，所以DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又因为A1A=AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DGCD1，所以D1GD=90，所以异面直线CD1，EF所成的角为90.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014重庆高一检测)在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60，那么FEG为()A.60B.30C.120D.60或120【解析】选D.异面直线AD与BC所成的角可能等于FEG，也可能等于FEG的补角.2. (2013
9、南充高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH()A.平行B.相交C.异面D.不能确定【解析】选A.连接B1C与A1D，因为E，F为中点，所以EFB1C.又因为G，H为中点，所以GHA1D.容易得出A1DB1C，所以EFGH.【举一反三】若已知条件不变，求GE与FH的位置关系，则结论如何？【解析】选A.由上面解析知EFB1C，GHA1D，又容易得出B1CA1D，所以EFGH，所以四边形EFHG为平行四边形，所以GEFH.3.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM
10、成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是()A.B.C.D.【解题指南】将平面展开图还原为正方体后逐一验证.【解析】选C.将图还原为正方体如图所示.由图可知BM与ED异面；CN与BE平行；CN与BM所成角为60；BNDM.4.(2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题指南】由于l2l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线的位置关系加以判断.【解析】选D.因为l2l3，所以l1l3
11、，l3l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1l4，l1l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，故l1与l4的位置关系不确定.二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故错误，正确.答案：6.在正三棱柱A
12、BC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成的角的大小为_.【解析】如图，连结B1C，设B1CBC1=D，取AC的中点E，连结DE，BE，C1E，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以D是B1C的中点，所以DEAB1，所以BDE(或其补角)是AB1与BC1所成的角.不妨设BB1=1，则AB=BC=AC=，在RtCC1E中，C1E=，在RtBCE中，BE=BCsin60=，所以C1E=BE，又D是BC1的中点，所以EDBC1，所以BDE=90，所以AB1与BC1所成的角为90.答案：90三、解答题(每小题12分，共24分)7. (2014佛山高一检测)如图，四边形ABEF和ABC
13、D都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD，BC=AD，BEFA，BE=FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点是否共面？为什么？【解题指南】(1)只需证BCGH，BC=GH.(2)先证四边形BEFG为平行四边形，再证明EFCH即得.【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GHAD，GH=AD，又BCAD，BC=AD，所以GHBC，GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点共面，证明如下：由BEFA，G为FA中点知，BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形.所以EFBG.由(1)知BGCH.所以EFCH，即四边形EFHC为平行四边形.所以CE与HF共面，又D直线FH.故C，D，E，F四点共面.【变式训练】如图所示，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且=.(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC.(2)求的值.【解析】(1)因为AA与BB交于点O，且=.所以ABAB.同理，ACAC，BCBC.(2)因为ABAB，ACAC且AB和AB，AC和AC方向相反，所以BAC=BAC.同理ABC=ABC.因此ABCABC，且=.所以=.8.如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且=，E
