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1、天然肠衣搭配的线性规划模型摘要天然肠衣（以下简称为肠衣）制作加工是我过的一个传统产业，对我国出口经济影 响深远。本文我们将对肠衣原料的搭配方案进行深入的探讨。 我们要达到的目标有两个： 第一，先对每种规格的原料单独成捆，使其捆数尽可能多；第二，在目标I的基础上， 尽可能提高原料的利用率，在允许的误差范围内，使成品捆数达到最大化。针对以上两个目标，我们通过大量不同模型的筛选，发现线性规划模型可以很好的解决问题，于是我们建立以下两个线性规划模型：对于D题中的问题I:在题中所给两张表的数据的基础上，我们只简单的考虑每种 规格的原料单独成捆，即不同类规格的原料不相互成捆。于是根据要求将每种长度每捆 所
2、需的原料加起来，长度总和会等于 89米；每捆中每种长度的所需的根数加起来，根 数总和会等于20根；再对变量进行一些条件限制，再用 Lin go软件进行编程和求解， 就可以得到每种规格原料单独成捆的最大值，且每捆中对不同长度的原料所需要的根 数。将每种规格所得到的捆数最大值相加，便是组成成品捆数总和的最大值。对于D题中的其余的问题：在问题I的基础上，我们将改进第一个模型，考虑并允 许一定的误差，即每捆总长度允许有 一0.5米的误差，总根数允许比标准少一根，且可 以将原料进行降级使用，也就是说考虑不同规格的材料在多余的情况下可掺杂使用，这 样可以尽可能使材料的利用率达到最大，成品的捆数达到最大化。
3、那么我们将对模型I 进行进一步的推广与优化，具体模型改进如下：在模型I的基础上，我们将增加变量和 误差性分析，将原料不同的长度和根数设为变量，这样计算出来的结果比较符合实际。最后我们对所建模型进行灵敏度分析检验，以及对其评价与推广。关键词：线性规划灵敏性分析Lingo问题重述天然肠衣经过清洗整后被分割成长度不等的小段，既为原料。然后由工人变丈量变 心算，将其按指定根数和总长度组成成品。原料按长度分档，通常以 0.5米为一档，如 33.5米按3米计算，3.53.9米按3.5米算，以此类推。通常成品规格有下表中3种:最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914OO589为了提高生
4、产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表， 根据对成品和原料的描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进 行生产。公司对搭配方案有以下具体要求：（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；（3）为提高原料使用率，总长度允许有土 0.5米的误差，总根数允许比标准少一根；（4） 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以 和长度介于713.5米的进行捆扎，成品属于713.5米的规格；（5）为了食品保鲜，要求在30分钟内产生方案。最后建立上述问题的数学模型，并对题中所给
5、的数据进行求解，给出搭配方案。二、基本假设1. 切割过程中原料不发生损失；2. 工人技术娴熟，不会出现误差；三、符号说明x :各肠衣长度的总根数(i =1,2,346)bi :各长度分别使用的根数(i =1,2,346)ai :各肠衣的长度(i =1,2,346)A :第一种规格最多能装的捆数B :第二种规格最多能装的捆数C :第三种规格最多能装的捆数A :第一种规格的捆数(i =1,2,36)Bi :第二种规格的捆数(i =1,2)G :第三种规格的捆数(i =1,2)ki :所剩肠衣能被截出符合规格一的根数(i =1,2,346) f :所有肠衣的总捆数四、模型建立(一)基本模型从问题入手
6、，我们不难得出我们应该建立何种目标。我们的目标是根据某种规格的 材料单独包装，尽可能使得包装的捆数越多越好。所以我们的目标函数应为所有成品包 装的捆数总和。由此我们可以建立以下的目标函数：模型I目标1 maxf二A+B+C模型U 目标 2 maxf=A5+A6+B+C很明显我们可以看出这是一个简单的线性规划模型方程。（二）建立基本模型2.1模型I根据题目，要设计一个使得捆数最多的情况，我们应该注意以下几个因素:1、不能把材料截断处理，多余的材料当成废料；2、尽量把未知量用的越少越好 模型I分析46种不同规格的材料分别包装成捆，在 3-6.5m之间的肠衣为第一种规格且包装的 根数在20根，总长度
7、保持一定，单独把这种的包装成独立的捆数。把第二种、第三种 规格的材料也按照同样的方法计算，算的最后的结果。模型I求解通过问题分析，我们得到：因为不能把材料截断处理，我们也一定要最大限度利用材料，使得捆数最多max =A ;8A_j =二 ajXj/89;i=18A2 =7 xi /20;i=1A =smin ( Ai, A2)；X1 -43; X2 _59;x3 乞 39; x4 乞 41;X5 乞 27; X6 乞 28;x- 34;禺空 21;gin (A);变量根数变量根数变量根数变量根数变量根数X1823X2642X3727X1922X 2728X3816X143X924X2054.4
8、8X2842X3912X259X1024X2118X2945X402X339X1120X 2225X 3049X410X441X1225X3150X426X515.1X1321X3262X430X618X1423X3352X440X734X1521X2335X3463X450X821X1618X2429X 3549X461X1731X2530X3635A1A2AB1B2BGC2C捆数1414.005144143.68541136.2135135所以 f二A+B+C =14+41+135=190模型n 模型分析及求解在误差应允许的范围内，每捆的总长度可以上下波动 0.5m,根数可以少一根。由此我
9、们 可以建立以下的模型：8Ai 二 aiXi /89i=18A 2 =二.Xi /20肠衣的捆数可以少一根，所以819 乞 bi 乞20i日每捆肠衣的总长度可以_0.5m，所以888.5 二 b xi 乞 89.5i 4把后面两种规格多余的材料来截成第一种规格的材料来使用，由此我们可以得到以下 式，所以46A3 = kjXj/89i 二46A4= ki /20i m把我们得到的不同算法的最多捆数来比较，较小的即是我们能得到的最佳捆数，所以A5=smin ( Ai, A?)A6=smin (A3, A4 )第二种规格的肠衣可以装成的捆数，所以22二 ai x i /89i=922B?二二 Xi/
10、8i=9227空v b乞8i =92288.5 _ b 人 89.5i =9第三种规格的肠衣装成的捆数，所以46C讦 aixi/892346C2二 xi/5i=23464 a-t 5i =234688.5 乞 7 ax 三 89.5i z23B=mi n(B1 ,B2)C=smi n( C1,C2)剩下的材料即总材料减去用完的材料，所以K 二人 - bigi n (A)我们就可以得到总共的捆数，所以A=A 5 +A 6 +B+C所以 f=A5+A6+B+C=186五、模型的检验与灵敏度分析(一)灵敏度分析2灵敏度分析具有非常重要的意义，通过对灵敏度的分析，可以知道模型对哪些参 数的变化敏感，从
11、而可以确定各影响因子对模型的影响程度。六、模型的评价与推广1、模型的优点对于模型I,它的方案较简单，只是根据三种规格分别单独装在一起，计算方法简单，思路较清晰，易于理解；对于模型二，它是在模型I的基础上进一步提升的，因此,计算结果更精准，对于不同批次、不同长度和根数的原料也可以计算得出，即可移植性 强，原料使用率也更高，更能符合实际。2、模型的缺点由于这是在实际基础上经过理想化假设的数学模型，因此这个模型也存在一些缺陷：1、 对于模型一，由于模型是建立在静态模型下，即只是将题中所给的一批原料的长度和根数 的具体数据进行处理，也就是不可变性。所以模型不能很好的处理变化，可行性不大。2、 对于模型
12、二，由于增加了变量，加大了计算量，运算起来较为复杂。3、模型的改进模型I的原料使用率不高，所以在做改进的时候可以针对这一方面具体操作，而模 型U的计算较复杂，量也较多，所以在做改进的时候就针对这方面具体操作。4、模型的推广该问题可以推广到多种情况，可以用来组合下料的问题3，既可以使原料剩余达到最少，又可以使成品达到最大化，即原料使用率最高。参考文献1 J.P.伊格尼齐奥著，闵仲求等译单目标和多目标线性规划上海同济大学出版社 19822 实用下料问题，2011 年 9 月 11 日3 徐崇刚等，生态模型的灵敏度分析，http:/ 2011 年 9 月 11 日附录表2原材料描述表长 度3-3.4
13、4-4.45-5.46-6.4根 数4359394127283421长 度7-7.48-8.49-9.410-10.4根 数2424202521232118长 度11-11.412-12.413-13.414-14.4根 数3123225918253529长 度15-15.416-16.417-17.418-18.4根 数3042284245495064长 度19-19.420-20.421-21.422-22.4根 数526349352716122长 度23-23.424-24.425-25.4根 数060001求出A的值Lin earizati on comp onents added:Con strai nts:5Variables:3In tegers:2Global optimal soluti on found.Objective value:14.00000Exte nded solver steps:0Total sol
