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1、word因式分解的常用方法第一局部：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：1通常采用一“提、二“公、三“分、四“变的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；2假如上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项添项等方法；。注意：将一个多项式进展因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘
2、、除中，我们学过假如干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2 -a22ab+b2=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca
3、)；例.是的三边，且，如此的形状是 A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解：三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ =例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、二分组后能直接运用公式例3、分解
4、因式：分析：假如将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例4、分解因式： 解：原式= = =练习：分解因式3、 4、综合练习：1 23 45 67 89 101112四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进展分解。特点：1二次项系数是1； 2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么根本规律？例.05，且为整数，假如能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：但凡能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因
5、式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进展分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 -1+-6= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)二二次项系数不为1的二次三项式条件：123分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 -6+-5= -11解：=练习7、分解因式：1 2 3 4三二次
6、项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进展分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)四二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1-2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：1 2综合练习10、1 23 45 678910思考：分解因式：五、换元法。(1)、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=x32，假如把单项
7、式x3换元，设x3 = m，如此x6= m2，原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：此题前面的两个多项式有一样的局部，我们可以只把一样局部换元，设x2 +6= m，如此x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换
8、了多项式的一局部，所以称为“局部换元法. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法. 比如，设x2+4x+6=m，如此x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进展换元，这种换元的方法被称为“均值换元法，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= (x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，如此x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x
9、， (m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项一样. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决. 我们采用“均值换元法，设m= (x2+x-2)+ (x2
10、+x-12)=x2+x-7，如此x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).(3)、换常数例1 分解因式x2(x+1)-20032004x.分析：此题假如按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，如此2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x
11、(x2+x-m2-m)= x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式12解：1设2005=，如此原式= = =2型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，如此原式= =练习13、分解因式123例14、分解因式1观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称。这种多项式属于“等距离多项式。方法：提中间项的字母和它的次数，保存系数，然后再用换元法。解：原式=设，如此原式= = = =2解：原式=设，如此原式= =练习14、12六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式1解法1拆项。解法2添项。原式= 原式= =2解：原式=练习15、分解因式1 23 456七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，如此原多项式必定可分为解：设=比照左右两边一样项的系数可得，解得原式=例17、1当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。2如果有两个因式为和，求的值。1分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设=如此=比拟对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可以分解；当时
