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1、 第3讲数列的综合问题1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式2以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围3将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力热点一利用Sn，an的关系式求an1数列an中，an与Sn的关系an2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(
2、等差、等比数列)例1(20xx运城模拟)正项数列an的前n项和为Sn，满足a3an6Sn4.(1)求an的通项公式；(2)设bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由a3an6Sn4，知a3an16Sn14，由，得aa3an13an6Sn16Sn6an1，即(an1an)(an1an3)0，an0，an1an0，an1an30，即an1an3.又a3a16S146a14，即a3a14(a14)(a11)0，an0，a14，an是以4为首项，以3为公差的等差数列，an43(n1)3n1.(2)bn2nan(3n1)2n，故Tn4217221023(3n1)2n，2Tn4227231024
3、(3n1)2n1，Tn42132232332n(3n1)2n1213(222232n)(3n1)2n1213(3n1)2n1(3n2)2n14，Tn(3n2)2n14.思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1(湖南省娄底市二模)设数列an的前n项和Sn2n12，数列bn满足bn22n1.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n1时， a1S12，由Sn2n12，得Sn12n2(n2)，anSnSn12n12n2n
4、 (n2)，又a1也符合，an2n (nN*)(2)bn22n122n122n1，Tn(2232522n1).热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题例2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0ann.(1)解方法一由题设fn(x)12xnxn1
5、，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.方法二当x1时，fn(x)1，则fn(x)，可得fn(2)(n1)2n1.(2)证明因为fn(0)10，fn112n1220，所以fn(x)在内至少存在一个零点，又fn(x)12xnxn10，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an，所以0anan1n.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函
6、数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练2(浙江省宁波市期末)已知数列an满足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求证：bn是等比数列；(2)记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；(3)求证：，得.又，所以，故80，当n7时，由于S6570，故Sn570(a7a8an)570704780210n6.因为an是递减数列，所以An是递减数列因为An，A882.73480，A976.82380，所以必须在第九年年初对M更新思维升华常见数列应用题模型的求解方法(1)产
7、值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr)(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b.跟踪演练3一弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n2时，有()ASn的最小值为100 BSn的最大值为400CSn500 DSn500答案C解析第一次着地时，经过了100 m；第二次着地时共经过了 m；第三次着地时共经过了m；以此类推，第n次着地时共经过了；所以Sn100100210022100n12100100400，显然Sn是关于n的单调增函数，所以当n2时，Sn取得最小值S2，且Sn1时，求使TnSn3成立的最小正整数n的值押题依据本题综合考查数列知识，第(1)
