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1、欧拉旋转角的更多应用欧拉旋转角的更多应用关键词 : 欧拉角 ; 旋转矩阵 ; 方向控制 ; 方向测量 ; 天线辐射方向图; 天线定位一 . 引言1995年 4月 ,Henry Burger 在专栏里的一篇题为“欧拉旋转角在产生天线辐射方向图中的应用”分享了他关于欧拉旋转角的想法。欧拉角旋转的使用是一个有利的技术, 我们已经多次使用了。正如1995 年 4 月的专栏介绍里许诺的那样 , 我们已经将这个想法扩展了然后阐述。b5E2RGbCAP我们曾经在一个共形阵列中使用旋转矩阵寻找辐射方向图匹配的单元, 这个共形阵列中不仅需要旋转方向, 还要旋转极化方向。第二个有用之处是在空间中用旋转矩阵分析旋转
2、物体。如果你在做计算机绘图, 你将需要能够旋转物体。许多计算机绘图文本中有些使用旋转矩阵的物体旋转的有用的分析。旋转矩阵的第三个有关的用法是去理解天线定位器。你可以通过旋转矩阵来描述定位器的旋转 , 并且计算旋转的影响, 这不仅包括天线的方向同时也包括极化方向。p1EanqFDPw二 . 使用欧拉旋转矩阵进行坐标旋转天线分析因为两个原因需要坐标变换。天线的的规范和测量需要沿着Z 轴瞄准线指向, 但是经常分析时需要使用其他指向的基阵。例如, 偏馈抛物面使用一种指向反射中心的反馈天线, 然而反射轴是在Z 轴上。曲面物体的各个面上的天线阵列每个单元指向不同。一个阵列因子乘以单元方向图衰减的想法和分析
3、必须在每个单元中坐标的方向图进行方向旋转。第二种坐标旋转的有用的应用是旋转空中的物体和电流。你可以在一个坐标系中算出几何结构, 这种计算比较容易, 而且然后旋转天线和电流到真实的指向。这种方法对于这些步骤使用3X3旋转矩阵。DXDiTa9E3d第一种感兴趣的情况是天线单元在空间中指向任意, 这里定位可以用一个旋转矩阵来描述。我们们把想要的辐射方向图方向旋转到旋转天线的坐标系以找出用什么测量角来满足单元所需要。这种指向旋转到旋转天线坐标系通过下面给出 RTCrpUDGiT旋转坐标系rotated rotated rotated Z Y X= 旋转矩阵? ? ? ? ? ? ? ? ? Z Y X
4、 (1) 我们们把矩形坐标变换到球形坐标以找出辐射方向角。旋转极化方向将在下面讨论。5PCzVD7HxA第二种分析中感兴趣的情况是旋转物体并且找到新的坐标。两种情况都用相同的矩阵。我们们要么用旋转矩阵乘以向量从左开始以找到旋转物体坐标系里的坐标, 要么从右开始乘来旋转物体。位置的旋转使用方程式jLBHrnAILgo l d o l d o l d Z Y X 旋转矩阵=? ? ? ? ? ? ? rotated rotated rotated Z Y X (2) 旋转矩阵可以在单元向量旋转时的方向中找到。它在下面给出旋转矩阵 =? ? ? ? ? ? ? axis -z otated axis
5、 -y otated axis - x otated R R R(3) xHAQX74J0X旋转很难形象化, 所以这个报告给出两个方法。它对于使用小坐标系手动形成旋转并且校验天线指向很有用。这种方法使用3X3矩阵来完成旋转，通过和位置或者方向向量的乘法来完成。关于X 轴的旋转给出? ? ? ? ? ? A A A A cos sin -0sin cos 0001(4) 关于 Y 轴的旋转? ? ? ? B B B B cos 0sin 010sin -0cos (5) 关于 Z 轴的旋转? ? ? ? ? 1000cos sin -0sin cos C C C C (6) AXRTA 程序可以
6、找关于主轴的 3 个旋转矩阵的任意一个。LDAYtRyKfEFORTRA货程序AXRTA旋转矩阵SUBROUTINE AXRTA (EA, IA, AS) CC Rotation Matrix f o r Rectangular Coordinates CC EA Rotation Angle (radians)C IA Axis of rotation: 1 X-axis, 2 Y-axis, 3 Z-axis C AS(3,3)Rotation Matrix C Zzz6ZB2LtkDIMENSION AS (3,3) CA=COS (EA) SA=SIN (EA) DOlI=l, 3 D
7、O2 J=I, 3 AS(J,I)=-SA 2 AS(I,J)=SA dvzfvkwMI11 AS(I,I)=CA D031=1,3 AS (I, IA) =O. 3 AS(IA,I)=O. AS (IA, IA) =l.RETURN ENrqDyn14ZNXI三种旋转能够将一个物体重新定向到任意方向。我们门通过把这些相乘得到最终旋转矩阵。通过三种旋转矩阵的结果来确定一个方位的旋转: EmxvxOtOco ? ? ? ? ? ? =rotated rotated 321old oldoldZ Y X R R R Z Y X rotated (7)合理的方法是在乘以方位向量之前乘以3X 3矩阵,
8、R 1,R 2,R 3。当我们们自右用R 2 乘以 R 1 , 它旋转 R 1 的旋转旋转轴。自右乘R 3的乘法运算旋转R 2旋转轴 , 并且 R 1 被再次旋转。我们们可以采取从左到右一个接一个的旋转, 并且使用关于各个主要轴的旋转矩阵, 只要我们们在每个乘法后将行向量转变成列向量。 SixE2yXPq5子程序MTMULT等任意适当大小的矩阵相乘。FOTRANfc二维变量中要求固定大小 , 但是一个向量当它的真实维度是(n ) 的时候 , 可能以 (n ,1) 维或者 (1,n )维来传递。6ewMyirQFLFORTRAN Subroutine MTMULT Matrix multipli
9、cation for realvariables kavU42VRUsSUBROUTINE MTMULT (A, B, C, NR, NN, NC) CC Matrix Multiplication A x B = C CC NR Number of Rows of A and CC NN Number of columns of A and Number of rows of B ,C. NC Numberof columns of B and C L y6v3ALoS89DIMEIISION A (NR, NN) , B (NN, NC) , C (NR, NC) DO11 =1, NR
10、DO1J =1, NC D02K=l,NN M2ub6vSTnP2 C (I, ,J) =C (I, J) +A( I, K) *B (K, J) 1 CONTINUE RETUN END0YujCfmUCwC(I, I)= o .一种定义空间物体的方向的方法是使用球坐标角度, 因为他们辐射方向图角度相同。这种情况下, 我们们将矩阵从右到左排成一行。当旋转一个轴的坐标系时 , 其他的轴转变方向。接下来的旋转是关于这些旋转轴的。这三种旋转经常被称作欧拉角。三种球坐标指向旋转是eUts8ZQVRd1)Z轴旋转二62) 新Z轴旋转=93 ) 新 Z 轴旋转使天线的极化对齐最后的旋转是最困难的, 因为
11、前面两个旋转已经改变的天线的方向。EULER子程序结合了 AXRTA为主轴的旋转通过矩阵乘法MTUL以计算完整的旋转矩阵。 sQsAEJkW5TFORTRAN Subroutine EULERRotation matrixSUBROUTINE EULER (EA, IA,AS)CC Euler Rotation MatrixCC EA Array of Euler Angles (radians)C Positive gives CCW rotationC about axis specified by IAC IA Array of Axis Designators (1 X-axis, 2
12、 Y-axis,GMsIasNXkAC 3 Z-axis)C For example, rotation about Z axis, New Y axis,C New Z axis would require IA to be: 3,2,3C AS (3,3) Matrix of rotationDIMENSION EA (31, IA (3) ,AS (3,3) , AW (3,3), BW (3,3)TIrRGchYzgCALL AXRTA(EA(1) ,IA(l) ,AS)CALL AXRTA(EA(2),IA(2),BW)CALL MTMULT(BW,AS,AW,3,3,3)CALL
13、AXRTA(EA(3),IA(3),BW)CALL MTMULT(BW,AW,AS,3,3,3)RETURNEND仔细阅读EULEFR?序，它揭示了乘法是以相反的方向进行的。三 . 旋转天线的旋转矩阵程序的旋转矩阵输出使主要坐标系的辐射方向图的方向的旋转可以被旋转到旋转天线的坐标系。辐射方向图的方向向量后被旋转矩阵自右乘以表示旋转坐标系的向量。矩阵分量变换成球坐标从旋转天线给予了辐射方向图所需要的方向。辐射方向图主程序将在旋转坐标系统返回极化分量。然后, 主要坐标系的的极化方向向量被旋转到天线单元的旋转坐标中, 并且极化单元向量被投射到这些旋转分量上。这种旋转矩阵后乘方向( 矩阵在左, 向量在
14、右 ) 或者方向向量不会改变它的方向,而是改变它的表现。PATRO程序将这些想法结合以使天线指向它的正常瞄准线之外可以使用。7EqZcWLZNXFORTRAN Subroutine PATROTPattern rotationSUBROUTINE PATROT(ROT,VR,VT,VP,THETA,PHI,VTP,VPP)CC Rotates Pattern direction in prime coordinatesC to rotated antenna coordinatesCC ROT (3,3) Rotation matrixC VR(3) Pattern direction uni
15、t vectorC VT(3) Theta unit vector for VR directionC VP(3) Phi unit vector for VR directionCC THETA Pattern direction in rotated antennaC coordinatesC PHI Pattern direction in rotated antennaC (radians)C VTP(3) Direction of Theta component in rotatedC coordinatesC VPP(3) Direction of Phi component in rotatedC coordinatesCDIMENSION ROT(3,3),VR(3),VT(3),VP(3),VTP(3),$ VPP(3),XX(3),SP(3)CALL MTMULT (ROT, VR, XX, 3,3,1)CALL RETSP(XX,SP)THETA=SP(2)PHI=SP (3)CALL MTMULT(ROT,VT,V
