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1、专题 07 数列大题解题模板模板一、由数列的前n项和S与通项a的关系求通项annn例1、已知数列a 的前n项和S , a = 1, a = 2S +1(n e N),等差数列卩中，b 0(n e N), nn 1n+1n+nn+且b + b + b = 15，又a + b、a + b、a + b成等比数列。1 2 3 1 1 2 2 3 3(1)求数列a 、b 的通项公式；nn求数列a - b 的前n项和T。n nn审题路线图：(1) a = S - S (n2)f 消去S 得a = 3a a = 3-1 ；n nn-1nn+1n n(2) 观察a b 中a与b的特点在T前乘以a 的公比，构造
2、使用错位相减得条件-2T =-2n - 3” n nn nnnn得Tn规范解答：【解析】(1)V a = 1, a = 2S +1(n e Na = 2S +1(n e N ,n2),1 n+1n+nn-1+:、a -a = 2 (S - S)，即a -a = 2a，.: a = 3a (n e N ,n2),n+1 nn n-1n+1 nnn+1n+而a = 2a +1 = 3，.:a = 3a，:.数列a 是以1为首项、3为公比的等比数列，2 121n: a =3n-1(ne N )，: a =1 ， a =3， a =9； n+123在等差数列b 中, v b + b + b = 15，
3、:b = 5n1232乂va + b、a + b、a + b成等比数列，112233设等差数列b 的公差为d，则有(a + b )(a + b )= (a + b )2n113322.：(1 + 5 -d)(9 + 5 + d )= 64。解得 d =-10 或 d = 2又 v b 0 (n e N)，.:舍去d =-10，取d = 2。.： b = 3，.: b = 2n +1 (n e N )； n+1n+(2)由知T = 3 x 1 + 5 x3 + 7 x32 +.+(2n 一 1)3”-2 + (2n +1) 3n-1 ； n3 T =3 x3 + 5 x32 + 7 x33 +.
4、+(2n 1) 3-1 + (2n +1)3 ，n则-得-2T = 3x 1 + 2x3 + 2x32 +. + 2x3“-1 -(2n +1) 3n=3+2x(3+32+.+3n1)-(2n+1) 3n=3 + 2 x 3 x-(2n +1) 3n=- 2n 3n 。: T =n 3n。n构建答题模板：1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分第一步：令n =1，由S = f (n)求出an1第二步：令n2，构造a = S - S ，用a代换S -S (或用S -S代换a，这要结合题目特点),n n n-1nn n-1n n-1n由递推关系求通项。第三步：验证当n =1时的结论是否适合当n2
5、时的结论。第四步：反复回顾，注意n=1和n 2分类讨论和验证，明确规范书写答题。练习1、已知正项数列a 的前n项和S满足6S = a2 + 3a + 2，且a是a和a的等比中项。nnn n n216(1) 求数列a 的通项公式；na + 5(2) 已知符合x表示不超过实数x的最大整数，如log 3 = 1，log 5 = 2，记b = log n ,求数22n23列2n - b 的前n项和T。2nn【解析】(1)由6S = a2 + 3a + 2得:n n n当 n = 1 时，6S = a2 + 3a + 2，即 a2 3a + 2 = 0，解得a = 1 或 a = 2 1 1 1 1 1
6、 1 1当 n 2 时，6S= a 2 + 3a+ 2n -1n -1n -1a2 + 3a + 2 a2 + 3a + 2 a2 + 3a - a 2 - 3aa = S S= nn n1n1= nnn1n1n n n -1666即 3(a + a ) = a 2 a 2 = (a + a )(a a ) ，n n1n n 1nn1n n1又数列a 各项均为正数，a + a 工0 a 一a = 3nnn 1nn 1当a =1时，数列a 是首项为】、公差为3的等差数列， 1n.a = 3n一2，a = 4，a = 16，满足a是a和a的等比中项，可取，n26216当a = 2时，数列a 是首项
7、为2、公差为3的等差数列， 1n.a = 3n一 1，a = 5，a = 17，不满足a是a和a的等比中项，舍去，n26216. a = 3n 2 ；n(2)由(1)可知 b = log 犒艺=log (n +1)n232:、b = log (2n +1) = n2” - b = n - 2n2 n22n:数列2 -b 的前n项和T = 1 x21 + 2x2 + 3x2 + + n-2”2nn2T =1 x 22 + 2 x 23 + 3 x 24 + + n 2n+1n:上式减上式得：T = 21 + 22 + 23 + + 2 n 2+1n2n 1一 n 2n+1T = (n 一 1)
8、- 2”+i + 2。12 分n模板二、数列求和问题1例2、已知数列a 的前n项和S =石n + kn (其中k e N)，且S的最大值为8。nn 2+n(1)确定常数k，并求a ；n9 2a(2)求数列n的前n项和T。2nn1审题路线图：S =- n + kn为关于n的二次函数当n=k时,n2S 取最大值S =- k2 + k 2 = k2 = 8 n k 2 219解关于k的方程得：k = 4 S =- n + 4 a = S -S =n 2n n n 1 2n（ n 2）b = 9一丝=上2+2- + 2- +.+仁用错位相减求和。222232n 一 1规范解答：111【解析】S =-
9、n + kn =- （n一k）2 + k2n 2221.:当n=k e N时，S取最大值，即8 = S =k2，故k2=16,+ nk 2. k =4，从而 a = Snn97-Sn1 = 2 - n（ n 2）。又 ai = S1 = 2，: a9 2an2n-1 = b + b +.+ b = 1 + 2 + - + + 1 + 2- n 12 n 2 222n 22n1:.T = 2T -T = 2 +1 +1 +.+斗n n n22n 2n1 n n + 2=4 -= 4 -2n12n 22n12n1构建答题模板：第一步：利用条件求数列b 的通项公式。n第二步：写出T = b + b
10、+.+b的表达式。n 12 n第三步：分析表达式的结构特征确定求和方法第四步：反复回顾，注意求a时n=1和n2分类讨论和验证，明确规范书写答题。 n练习2、等比数列a 的前n项和S，S = 7且a + 3、3a、a + 4成等差数列。nn 3123(1)求数列a 的公比q和通项a ； nn若a 是递增数列，令b = log缶，求Ib I +1b I + +1b I。nn 2 12812n【解析】(1)由已知条件得S& = a + 3 + a + 4213a + a + a = 7123a = 22q = 2或 2q = 2a = 2n-in1q = 2a = 23- n n若a 是递增数列，则
11、a= 2nnn +1记b 的前n项和T =nn2当 1 n 7时Ib I +1b I + +1b l= -T12nn当n、8时Ib I +1b I + +1b I= T 2S12 lb I +1b I + 12n n7n(13- n)-,1 n 8模板三、数列中不等式的证明例3、已知数列a 中，a = 1，其前n项的和为S ,n1n2S2且满足a = n ( n 2)。n 2S - 1n(1)求证：数列是等差数列;n证明：当n 2时,1 1 1 3S1+2 S+3 S+n Sn 2时，a2S2n , S -S =2S S n n n-12S - 1n-1nn=S-Sn n-1s 二2n-11从而构成以1为首项，2为公差的等差数列;n11(2)由(1)可知，忑n.当n2时,-+( n - 1 )x 2 = 2n - 1，S = 21Sn 2n - 111S = -n n n(2n - 1)n(2n - 2) 2 n(n-1) 2 n-11111-n)2分4分5分6分8分10分12分从而s 1+2s + 3s +.+丄s v 1+2(1 -2+2-3+.+斗丄)3-2- 2）。12nn n -1（1）求证：数列是等差数列;n(2)求 S 和 a ；nn1 1求证：S2 + S2 +. + S2 2 时，a = S - S
