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1、定积分的计算措施摘要定积分是积分学中的一种基本问题,计算措施有诸多,常用的计算措施有四种:(1)定义法、（2)牛顿莱布尼茨公式、(3）定积分的分部积分法、(4）定积分的换元积分法。以及其她特殊措施和技巧。本论文通过典型例题分析探讨定积分计算措施,并在系统总结中简化计算措施!并注重在解题中用的措施和技巧。核心字:定积分,定义法,莱布尼茨公式，换元法Clclaon methd o defnie nteraAbstractthingrlis theintgal clcls isa fundametalprbm， ts caculationethdis f， （1)efnitionmeho, (2)N
2、ton - Leibn formua,(3)iegral sbecionintega method，() ustute ehod.This paer， y clasc exampe dfiteintegral anayis mtod, and he sstem of smliied， summarizdtheappoximate clcultionmetod!Andaattento t problem i ing theetods d sklls Keywods:defiite integral ，definiion metod, Newton- Lebz,sbtitutmetod目录目录绪论
3、31.1定积分的定义31.2定积分的性质4 常用计算措施52.1定义法522牛顿-莱布尼茨公式62.3定积分的分部积分法24定积分的换元积分法7 简化计算措施9.1含参变量的积分.2有理积分和可化为有理积分的积分104总结12道谢13参照文献11绪论1.1定积分的定义定积分就是求函数f(X)在区间a,b中图线下包围的面积，如图11所示。即由 y0,x=a,=b,y=f（X)所围成图形的面积1。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。设函数() 在区间,上持续，将区间，b提成n个子区间0,x, (x1，x2， （2,x3, ， (xn-,n,其中x0=，xn=。可知各区间的长度依次是：x1=x-
4、x0， x2=x2-x1, ,xn=xn-xn-。在每个子区间(xi1,x中任取一点i（1,.,n)，作和式设max, x, ,x（即是最大的区间长度），则当0时，该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数(x) 在区间a,b的定积分，记为其中:a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间, b叫做积分区间，函数(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d叫做被积体现式,叫做积分号。之因此称其为定积分，是由于它积分后得出的值是拟定的,是一种数，而不是一种函数。根据上述定义,若函数（x)在区间,b上可积分，则有n等分的特殊分法:特别注意，根据上述体现式有,当,区间正好为0，1区间时，则0,1区间积分体
5、现式为:12定积分的性质性质 性质2 性质3 假设abc 性质4 如果在区间上，恒有,则性质5 如果在区间上,则(ab)性质6 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值,则 ,此性质可用于估计积分值的大体范畴3。性质7 若f（)在a,b上可积,则f（x)在a,b上也可积，且性质（积分第一中值定理）设函数f(x）在a，b上持续，g()在a,b上可积,且在a，上不变号,则在a，b上至少存在一点，使得： 2 常用计算措施21定义法定积分的定义法计算是运用极限的思想,简朴的来说就是分割求和取极限。觉得例:任意分割,任意选用作积分和再取极限。任意分割任意取所计算出的I值如果所有相似的话,则定积分存在。如果
6、在某种分法或者某种的取法下极限值不存在或者与其她的分法或者的取法下计算出来的值不相似,那么则说定积分不存在。如果在不懂得定积分与否存在的状况下用定义法计算定积分是相称困难的，波及到如何才是任意分割任意取。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作的特殊分法，选用特殊的，计算出定积分4。第一步：分割将区间提成个社区间,一般状况下采用等分的形式。,那么分割点的坐标为,.,在任意选用,但是我们在做题过程中会选用特殊的，即左端点，右端点或者中点。通过度割将曲边梯形提成个小曲边梯形。我们近似的看作是个小长方形。第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和,也就是。第
7、三步：取极限.，即，也就是说分的越细,那么小曲边梯形就越接近小长方形，当趋于无穷之时,小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积,也就是定积分的积分值。例1、用定义法求定积分。解：由于在持续因此在可积令将等提成n个社区间，分点的坐标依次为取是社区间的右端点，即于是因此，2.牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式较好的把定积分与不定积分联系在一起。运用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式规定函数在区间内必须持续。求持续函数的定积分只需求出的一种原函数,再按照公式计算即可。定理：若函数在区间持续,且是的原函数,则。证明:由于是的原函数,即有 积分上限函数也是的原
8、函数 因此 因此 令有即 再令有我们懂得,不定积分与定积分是互不有关的,独立的。但是在持续的条件下,微积分基本定理把这两个互不有关的概念联系起来,这不仅给定积分的计算带来极大的以便,在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果,有着重大的意义。例、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。解： 原式同样的一道题目，用牛顿莱布尼茨公式明显比定义法简朴，容易计算。2.3定积分的分部积分法公式：函数，在有持续导数则证明：由于，在有持续导函数 因此 因此 即 或例1、求定积分。解：2.定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，一方面求被积函数的原函数，另一方面再按公式计算。一般状况下，把这两步
9、截然分开是比较麻烦的，一般在应用换元积分法求原函数的过程中也相应互换积分的上下限,这样可以简化计算。公式：若函数在区间持续,且函数在有持续导数,当时，有则： 证明： 即这个公式有两种用法：(）、若计算、选用合适的变换，由a,b通过，分别解出积分限与;、把代入得到；、计算.例1、 计算定积分。解:设有 时,;时, (）、计算,其中、把凑成的形式;、检查与否持续；、根据与通过求出左边的积分限,b；、计算.例2、 计算定积分。解:令,则, 当时,；当时， 因此原式=总结定积分计算中最常用的四种措施,本文通过举例分析定积分的几种计算措施，来体现定积分的计算。定积分的计算类型诸多，要纯熟地进行定积分的多
10、种运算,就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握。其实，在实际计算中,遇到的题目不同样，用的计算措施也不同样。定义法一般不常用，计算起来比较困难,因此一般不会用定义法计算。常用的就是其她三种,即牛顿-莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法。道谢 在教师的悉心指引下我完毕了这篇有关定积分的计算措施的论文,感谢教师以以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和孜孜以求的工作作风对我产生重大影响。在此想对理学院的教师表达真诚的感谢,感谢您们给我这次机会，感谢您们懂得与教导。也感谢在学习过程中陪伴我协助我的同窗们,谢谢你们。参照文献1 华东师范大学数学系编 数学分析M,北京：高等教育出版社, 2姚允龙编 高等数学与数学分析措施导引M, 上海：复旦大学出版社，198 3 钱吉林 编 数学分析题解精粹，武汉:崇文书局， 4 中国科学技术大学高等数学教研室 编 高等数学导论M,合肥:中国科学技术大学出版社，199
