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1、变式探究，培养创新能力的有效途径从一道教材例题说开去长春市实验中学数学组 吴普林 孟庆超 变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉的运用，顾泠沅在1981年对变式教学进行了系统而深入的实验研究与理论分析.将传统教学中的“概念性变式”推广到“过程性变式”，从而使变式教学既适用于数学概念的掌握，也适用于数学活动经验的增长. 2003 年顾泠沅与鲍建生等合作于在数学教学杂志上发表了变式教学研究，对先前的工作作了总结与评价. 鲍建生等人总结了数学变式教学的基本内涵，提出了变式教学实施的两种策略：概念性变式教学策略和过程性变式教学策略.2005 年顾泠沅先生与黄荣金、瑞典学者马顿合作发表了变式教学
2、: 促进有效的数学学习的中国方式. 顾冷沅、黄荣金与马顿合作研究，认为变式教学是促进有效的数学学习的中国方式.从变式教学揭示了中国数学课堂教学之中的合理成分，论证了几个著名的西方教学原理对这一理论的有力支持, 尤其是, 马顿理论为变式教学提供了认识论基础和支撑. ” (范良火等主编,华人如何学习数学, 江苏教育出版社, 2005, 第247 页).香港中文大学孙旭花博士也谈到，从变式的角度学习数学，不仅有助于数学内容学习，从变中看到不变的规律，同时也培养怎样学数学，学数学的方式以不变应万变的公理化思想.从变式的角度来培养数学的眼光，有助于学透内容，有助于学深方法，以简胜繁.江苏省如东中学高级教
3、师洪兵，在中学数学月刊上（2006第11期）专门撰文谈到这个问题. 通过“变式教学”，能培养学生的创新思维品质.变式教学在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性,或变换同类事物的非本质特征来突出事物的本质特征,突出那些隐蔽的本质要素,让学生掌握事物的本质与规律,培养学生的创新能力. 笔者深切赞同各位专家和同行对变式教学的理解，积极在课堂中践行变式教学，尤其重视变式教学在培养学生创新能力方面的重要作用.本文从一道课本例题开始，通过精心的引导设计，展示了变式教学在课堂应用中的一斑.高中数学课标教材选修2-1第41页中有这样一道例题.（一）设点、的坐标分别为(-5,0),(5,0)，直线
4、、相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.学生不难得到点的轨迹方程是.笔者敏锐地捕捉到了这个问题的变式价值，进行了如下的设计.请同学们观察问题中涉及的几个数量“点、的坐标(-5,0),(5,0)和”，看一看它们与点的轨迹有什么关系？与方程中的哪些量有关系？对于椭圆的一般方程你能概括出出更具一般性的结论吗？经过学生的合作探究，学生得出这样的结论椭圆上任意一点(不与长轴上的顶点重合)与长轴两个顶点斜率之积是定值.接下来，笔者启发学生，对于这道例题，你还有其它的猜想吗？想一想，椭圆的对称轴有几个呢？经过启发，有的学生作出了如下的猜想.（二）探究一：椭圆上任意一点(不与短轴上的顶点重合)与短轴两
5、个顶点斜率之积是定值.笔者接下来问大家，你有没有办法向大家说明一下你的想法是否正确呢？有的学生提出取几个特殊的椭圆来验证，有的学生提出点可以取长轴的两个端点验证.通过验证大家发现，这个想法是正确的.笔者接下来让给了学生10分钟有时间，让大家探求严谨的证明.学生们有的独立研究，有的小组合作，很多都给出了一般的证明.下面展示一下学生对（二）的证明.设是椭圆上任意一点(不与短轴上的顶点重合)，则.代入，得.这一节课下来，学生们显得很兴奋，觉得自己能成为一名“发现者”，并且能证明自己的发现很自豪、很兴服，我也被学生的情绪所感染.但是笔者和学生们的发现之旅并未就此结束，在接下来的教学中，我又设计了这样的
6、问题.请同学们观察结论（一）（二）的共同特点，都是对椭圆的长轴和短轴作出的，长轴和短轴对椭圆来说更一般的“身份”是什么呢？在这两个结论中，长轴和短轴有什么共同的位置关系吗？有的学生经过思考，指出长轴和短轴都是椭圆的一条弦，有的学生指出这两条弦都是过原点的弦.于是继续启发，那我们前面的结论（一）（二）还可以再大胆地推广一下吗？有的学生迫不及待地说出了下面的结论.（三）探究二：椭圆上任意一点与它过原点的任意一条弦的两个端点的斜率之积是定值(点不与这条弦的两个端点重合).马上有学生举出特例验证了这条结论是成立的.但是在作一般证明的过程中，学生遇到了很大的问题.于是我提醒学生用椭圆的参数形式试一试.把
7、点设为，设.经过探究，学生们得到.学生对这个问题的探究热情始终不减，在日后的教学中，学生们又提出了一些与这个问题有关的结论，可见影响之深远.在学到双曲线时，学生遇到教材55页的探究时，不用我任何提示，学生经过思考和合作，争相得到下面的结论.（四）探究三：双曲线上任意一点与它过原点的任意一条弦的两个端点的斜率之积是定值(点不与这条弦的两个端点重合).由于双曲线的参数方程教材并不介绍，所以笔者没有带领学生用参数方程进行证明，只是提出有余力的学生，可以自己查找资料，用双曲线的双数方程进行证明，有的学生真的主动查找资料，最后给出了证明，贴到了班级的学习交流版上.，设.经过探究，学生们得到.不仅如此，在
8、高三复习时，笔者和学生们还发现，我们前面所作的探究和一另一个熟知的结论可以统一起来.（五）探究四：椭圆任意一条弦的斜率与这条弦中点与原点连线的斜率之积是一个定值.(在斜率都存在的情况下)它和前面结论的关系如下，连接并延长交椭圆于点.由前面的结论（四）可知，而、为中点，所以，因此，.多么精彩的发现，在共同探究的过程中，笔者和学生教学相长，不知不觉中，创新的种子已经在学生求知的园地中生根发芽.通过平时有意识地进行变式教学，笔者发现学生学习数学的热情明显升温，有的学生甚至总成绩暂时还落后，但是数学却可以达到领先的水平，这让笔者感到由衷的欣慰.所以我想，在新课程如火如荼地展开之后，我们在究竟要改什么，这值得深思，我们首先要改变的恐怕应该是学生对数学的态度，和对学习的态度.变式教学，恰恰能给学生创设一个培养创新能力的平台，这就需要教师多钻研教材，选好教学的切入点，和学生一起快乐地成长.2011年3月4日长春市实验中学数学组吴普林130071电话：13756088212 办公：86801017Emal: QQ：965571192作者简介：吴普林，1978年生，东北师大本科（2001）、教育硕士（2008）。现就职于长春市实验中学数学组。吉林省骨干教师（2009）长春市骨干教师（2005、2008两届）吉林省教学新秀（2005）长春市第三届骨干教师论坛“金星奖”（2009）1稳重
