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1、一元二次不等式解法典型例题 能力素质 分析 求算术根，被开方数必须是非负数解 据题意有，x2x60，即(x3)(x2)0，解在“两根之外”，所以x3或x2例3 若ax2bx10的解集为x|1x2，则a_，b_分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1和2是方程ax2bx10的两个根，考虑韦达定理解 根据题意，1，2应为方程ax2bx10的两根，则由韦达定理知例4 解下列不等式(1)(x1)(3x)52x(2)x(x11)3(x1)2(3)(2x1)(x3)3(x22)分析 将不等式适当化简变为ax2bxc0(0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)答 (1)x|x2或x4(4
2、)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式 Ax|x0Bx|x1Cx|x1Dx|x1或x0分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分x20，x10，即x1选C说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解 A(x3)(2x)0B0x21D(x3)(2x)0故排除A、C、D，选B两边同减去2得0x21选B说明：注意“零” 点击思维 (a1)x1(x1)0，根据其解集为x|x1或x2答 选C说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧解 先将原不等式转化为不等式进一步转化为同解不等式x22x30，即(x3)(x1)0，解之得3x1解集为x|3x1说明：解不等式就是逐步转化，
3、将陌生问题化归为熟悉问题例9 已知集合Ax|x25x40与Bx|x22axa2分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得Ax|1x4设yx22axa2(*)4a24(a2)0，解得1a2说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例10 解关于x的不等式(x2)(ax2)0分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论解 1 当a0时，原不等式化为x20其解集为x|x2；4 当a1时，原不等式化为(x2)20，其解集是x|x2；从而可以写出不等式的解集为：a0时，x|x2；a1时，x|x2；说明：讨论时分类要合理，不添不漏 学科渗透 例11 若不等式ax2bxc0的解集为
4、x|x(0)，求cx2bxa0的解集分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a0，根据韦达定理知：a0，b0，c0解法二 cx2bxa0是ax2bxa0的倒数方程且ax2bxc0解为x，说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维分析 将一边化为零后，对参数进行讨论进一步化为(ax1a)(x1)0(1)当a0时，不等式化为(2)a0时，不等式化为x10，即x1，所以不等式解集为x|x1；综上所述，原不等式解集为： 高考巡礼 例13 (2001年全国高考题)不等式|x23x|4的解集是_分析 可转化为(1)x23x4或(2)x23x4两个一元二次不等式答 填x|x1或x4例14 (1998年上海高考题)设全集UR，Ax|x25x60，Bx|x5|a(a是常数)，且11B，则 A(UA)BRBA(UB)RC(UA)(UB)RDABR分析 由x25x60得x1或x6，即Ax|x1或x6由|x5|a得5ax5a，即Bx|5ax5a11B，|115|a得a65a1，5a11 ABR答 选D说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查- 1 -
