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1、圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论结论1：设椭圆丄=1(a,b,0)和双曲线止=1(a,0,b,0)共焦点f(c,0)，F(c,0)，P是两a2b211a2b222121122曲线的一个交点，经过点P的椭圆和双曲线的斜率分别为k，k，则kk=-1.1212结论2：设抛物线y2=2px(p,0)和椭圆X2+y2=1(a,b,0)共焦点F(c,0)(c,0)，是两曲线的一个交点,a2b2椭圆的离心率是e，经过点P的两曲线切线的斜率为k和k，则kk=丄(e21).(试选此题证明)12122结论3:设抛物线y2=2px(p,0)和双曲线丄=1(a,0,b,0)共焦点F(c,0)(c0)，P是两曲线
2、的一个a2b2交点，双曲线的离心率是e，经过点P的两曲线切线的斜率为k和k，则kk=1(e21).12122结论4：抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行(或重合)于该抛物线对称轴.(试证明)结论5：椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心.(试证明)结论6：过椭圆竺+丘=1(a,b,0)的右顶点M(a,0)作直线MA与直线MB交该椭圆于A，B两点，若a2b2MALWB，则直线必过定点(a(a2b2),0).(试证明)a2b2b2a2y)-a2b20结论7：过椭圆x2+y2=1(a,b,0)上的任意定点M(x0,y0)作直线MA与直线MB交椭圆于A,B两点，若a2b200
3、MAMB，则直线必过定点(2b2a2b2结论8：过椭圆+=1(a,b,0)上的任意定点M(x0,y0)作直线MA与直线MB交椭圆于A,B两点，若a2b200kMkMB=m(m耳)，贝悄线必过定点(竺二X,竺二y).MAMBa2a2b20a2b20结论9：直线AB与抛物线y2=2px(p,0)相交于点A和B,若OA丄OB,则此直线必过定点(2p,0).结论10：直线与抛物线y2=2px(p,0)交于A，B两点，M是其顶点，当kMkMB=m(m0)时，直线恒过定点(业,0).(试用三种方法证明)m结论11:过抛物线y2=2px(p,0)的任意定点M(x0,y0)作直线AM与MB交双曲线于A，B两点
4、，当kMk=m(m0)时，直线AB恒过定点(2p+x,-y).MMBm00结论12：已知抛物线y2=2px(p,0)过点F(m,0)(m0)的直线交抛物线于点M、N交y轴于点P,若pm=MF,PN=卩NF，则+卩=-1.(试用三种方法证明)结论13：已知抛物线y2=2px(p0),过点M(0,m)(mM0)的直线与抛物线相交于不同的两点A、B,与x轴相交于C(c,0),求证:IMC|2=IMAIIMBI.结论：已知椭圆=1(a,b,0)，过点F(m,0)的直线交椭圆于点M、N,交y轴于点P,若m=Ma2b2P=NF，则i=2a2特别地，当f为焦点时，九+=込.(试证明)m2a2b2结论15：已
5、知双曲线旦-丘=i(a,o,b,0)，过点F(m,0)的直线交椭圆于点M、N交y轴于点P,若a2b2PM=xM=NF，贝映+=2a2特别地，当F为焦点时，九+=2a2m2a2b2结论16：A、B是椭圆竺+丘=1(a,b,0)上的两点，且OA丄OB,则+-=丄+丄试证明a2b2|OA|2|OB|2a2b2结论:A、B是双曲线匚=1(a,0,b,0)上的两点，且OA丄OB，贝I+a2b2|OA|2|OB|21a21b2结论18:设P,P，,P是椭圆竺+丘=1(a,b,0)上的n个点，且ZPOP=ZPOP-ZPOP-ZPOP，12na2b21223n1nn1则丄+丄+，+丄=n(丄+丄)试用极坐标方
6、法证明OP2OP2OP22a2b212n结论：若M、N是椭圆兰+丘=1(a,b,0)上关于原点对称的两点，P是椭圆上不同于M、N的任意a2b2一点，且k,k存在，则kk=-竺试用点差法证明和函数与方程思想证明PMPNPMPNa2结论：若M、N是双曲线=1(a,0,b,0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上不同于M、N的a2b2任意一点，且k,k存在，则k-k=PMPNPMPNa2结论：直线AB与椭圆竺+丘=1(a,b,0)交于A、B两点，M是AB的中点，且直线AB、OM的斜率a2b2存在，证明：kk=-b2OMABa2结论22：直线AB与双曲线竺丘=1(a,0,b,0)交于A、B两点，M是AB
7、的中点，且直线AB、OM的a2b2斜率存在，证明：k-k=OMABa2结论23:过双曲线旦止=1(a,0,b,0)上任意一点P作双曲线的渐近线的平行线，分别交渐近线于点M、a2b2N,则両.P=匚11试证明4结论24：设双曲线x2y2=1(a,0,b,0)的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲a2b2线的两条渐近线的平行线与直线OP(O为坐标原点)分别交于Q和R两点.若OR=九OP,OQ=OP，则和=1.结论25：设双曲线竺止=1(a,0,b,0)的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲a2b2线的两条渐近线的平行线与直线OP(O为坐标原点)分别交于Q和R两点
8、则OROQ=O2试证明条结论：过双曲线竺丘=1(a,0,b,0)上任意一点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为M、N,则a2b2*a2b2(b2a2)PMPN，c4结论27：过双曲线亡,1(a0,b0)上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于M、N,O为坐标a2b2原点,则OM-ON，a2-b2S2p3结论28：过抛物线y2,2px(p0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点，则fob=厶.|AB|8结论29：过x轴上一点A(-m,0)(m0)引动直线与抛物线y2,2px(p0)相交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x=m(y込嬴,y需)试证
9、明结论30:过X轴上一点A,0)(am0)引一条动直线与椭圆丄+，1(ab0)相父于M、N两点,ma2b2过点M、N分别作椭圆的切线，则两条切线的交点轨迹方程是x=m(y结论：过X轴上一点,0)(ma)引一条动直线与双曲线匚，1(a0,b0)相父于M、N两点,ma2b2过点M、N分别作双曲线的切线，则两条切线的交点轨迹方程是x=m(y结论32：过直线x=m(y2pm,y-可2pm)上一点引抛物线y2，2px(p0)的两条切线，切点分别为M、N,则M、N的连线过定点(-m,0).试证明结论33：过直线x=m(y公巴m,ym0)上一点引椭圆+,1(ab0)的两条切aaa2b2线，切点分别为M、N,
10、则M、N的连线过定点(竺,0).m结论34：过直线x=m(y公乞m,ya)上一点引双曲线，1(a0,b0)的两aaa2b2条切线，切点分别为M、N,则M、N的连线过定点(竺,0).m结论35：抛物线y2,2px(p0)的焦点为F,过焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M、N,贝I线段MN恒过定点t(如,0)，且以AB,CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT2为直径的圆.试(证明)结论36：椭圆x2+y2,1(ab0)的焦点F(c,0)(或F(-c,0),过焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设a2b2弦AB,CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点t(丄,0)或(T(么，0)，且以AB,CD为a2+b2a2+b2直径的两圆公共弦中点的轨迹是过定点为T的圆.#
