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1、CH13关于定价的博弈论模型分析寡头市场的最大困难在于策略问题。在此情形下，市场上仅有几家企业，每一家企业在做决策时，都必须在一定程度上考虑其它企业的行为。博弈论就是用以研究策略选择的一种主要的工具。一、基本概念在一些情况下，个人或企业必须作出策略性选择，并且最终的结果依赖于每一个行动者的选择，这种情况就可以看成是一个博弈。1.博弈的三要素任何一个博弈都必须具备三个要素：（1）博弈的参与者参与人的具体身份无关紧要，在博弈中没有“好人”与“坏蛋”之分，我们只是简单地假设 每个参与者在考虑到对手行为的前提下，做出最有利的策略性选择。（2）策略策略是博弈参与者的行动规则。在非合作博弈中，参与者之间不
2、能就策略选择达成一个有约束力的协议。（3）支付（payoffs）支付是参与者的最终受益。支付包括了与博弈结果相关的所有方面，既包括显性的货币报酬，也包括隐性的参与者关于结果的心理感受。2.符号两个参与者（A和B）之间的博弈 G用下式表示GSA,SB,UA（a,b）,UB（a,b）其中，Sa和Sb分别表示参与者 A和参与者B的可选策略，U A（a, b）和U B（a, b）分别表示 当参与者A和B分别选择策略a和策略b时，各自所得到的支付（aW SA,bWSB）。二、Nash均衡市场均衡：在均衡价格和产量下，买方和卖方都没有动力去改变自己的行为。. * * . Nash均衡：对于策略组合（a ,
3、b ）,如果给定其它参与者的策略，没有一个参与者会选择单方面偏离，那么这个策略组合就构成一个Nash均衡。也就是说* *.U A（a ,b ）之 UA（a,b ）对于所有 awSA* *UB（a ,b ）之UB（a ,b）对于所有 bw &对纳什均衡的理解设想所有参与者在博弈之前达成一个（没有约束力的）协议，规定每个参与人选择一个特定的战略。那么，给定其他参与人都遵守此协议，是否有人不愿意遵守此协议？如果没有参与人有积极性单方面背离此协议，我们说这个协议是可以自动实施的（self-enforcing）,这个协议就构成一个纳什均衡。否则，它就不是一个纳什均衡。、一个例子两个厂商（A和B）决定自己
4、花多少钱用于做广告。每个厂商可以选择较高的预算（ H）或 较低的预算（L）。1 .博弈的扩展式表述图 13.12 .博弈的策略式（规范式）表述rssmH琳由表 13.13 .占优策略和Nash均衡从表13.1可以看出，低预算（L）是厂商B的占优策略，即不管厂商 A选择哪一种策略，L 都是厂商B的最佳选择。由于该博弈的结构是公共知识，厂商 A也知道L是厂商B的占优 策略，所以厂商 A将选择L。因此，该博弈的均衡是（L, L）。请验证（L, L）构成一个Nash均衡，而其它三个策略组合都不是Nash均衡。四、混合策略Nash均衡上面的博弈存在唯一的 Nash均衡，但是并非所有博弈都是如此。在下图所
5、示的猜谜博弈中, 没有上述意义上的 Nash均衡存在；而在“性别之战”博弈中，存在两个Nash均衡。儿童A1,-1-1,1-1,11-1H（正面）T（反面）儿童BH（正面）T（反面）表13.2猜谜博弈9的靠路山谷2/0 0A的策略海俄伉。1.2表13.3 “性别之战”Nash均衡不存在的一个主要原因是参与人的策略较少，缺乏灵活性。在以下两种情况下，参与者的潜在策略数无穷大， 就可以保证博弈至少存在一个均衡： （1）参与者的策略是某一 区间内的连续变量（比如厂商对产量或价格的选择）；（2）参与者使用 混合策略一一以一定的概率选择某种概率。相应地，以概率 1选择某种行动的策略叫做“ 纯策略”。下面
6、，我们来求解“猜谜博弈”的混合策略Nash均衡。Suppose that the players decide to randomize amongst his strategies and play a mixed strategy.Player A could flip a coin and play H with probability r and T with probability 1-r , and player B flip a coin and play H with probability s and T with probability 1-s.Given these pr
7、obabilities, the outcomes of the game occur with the following probabilities: H-H , rs; H-T, r(1 -s); T-H, (1-r)s; T-T,(1 -r)(1-s). Player A s expected utility is then given byE(Ua) =rs(1) r(1-s)(-1) (1-r)s(-1) (1-r)(1-s)(1) = 4rs -2r -2s 1 =2r(2s-1)-2s 1Oviously, As optimal choice of r depends on B
8、 s probability, s. If s 1/2, A should opt for r=1. And when s = 1/2, As expected utility is 0 no matter what value of r is choosen. As best response function is工0,if s = 1 2r(s) = 1, if s 1/210,1, if s=1/2For player B, expected utility is given byE(Ub) = rs(-1) r(1-s)(1) (1-r)s(1) (1-r)(1-s)(-1)二(4r
9、s -2r -2s 1) =2s(1-2r) -(1-2r)Now, when r 1/2, Bs expected utility is maximized by choosing s=0. If r1/2, A should opt for s=1. And when r =1/2, As expected utility is independent of what s is choosen. Bs best response function iss(r)ifif1/2r :二12120,1, if r =12responsecurve of B_l1/2responsecurve o
10、f A* rNash equilibria are shown in the figure by the intersections of optimal response curves for A and B.Or, we can get the equilibrium through the FOC.:E(ua)A- = 4s - 2 = 0=fr王(uB)， c cB- =4r -2 =0=.s对上式的理解：在给定参与人1s = 一21r =一2B采用混合战略(s)H + (1-s)T的情况下，如果混合战略(r)H + (1-r)T是参与人A的最优选择，必有 Eua(H ) = Eua(
11、T)。同样的，在给定参与人A采用混合战略(r)H十(1-r)T的情况下，如果混合战略(s)H十(1-s)T是参与人B的最优选择，必有Eub(H) = Eub(T)。这样，混合策略Nash均衡就可以由以下两式得到EUa(H) =EUa(T)Eub(H) =Eub(T)1 s (-1) (1-s) =(-1) s 1 (1-s)(-1) r 1 (1-r) =1 r (-1) (1-r)这样很容易就可以得到上面的混合策略Nash均衡。囚徒B坦白抵赖坦白-3, -30.5, -10抵赖-10, 0.5-2,-2表13.3囚徒困境四、囚徒困境抵赖 is a dominated strategy. A
12、rational player would therefore never 抵赖.This solves the game since every player will 坦白.Notice that I dont have to know anything about the other player囚徒困境：个人理性与集体理性之间的矛盾。This result highlights the value of commitmenti n the Prisoners dilemma commitment consists of credibly playing strategy 抵赖.囚徒困境
13、的广泛应用：军备竞赛、卡特尔、公共品的供给。五、动态博弈参与人A首先行动，参与人B在观察到参与人 A的行动以后，再行动。相对于动态博弈，参与者同时行动，或者虽然行动上又先后，但是后行动者不能观察到先行动者的选择的博弈 叫做静态博弈。2.策略式表述A蚪策请注意企业B的策略和策略空间。8的涯略LL1/ 乩1 任。t7.57,55.45UV146.36,46J表 13.4策略是对行动规则的完备描述，由于在参与者A选择以后,图 13.21.扩展式表述参与者B可能面临两种情况一一参与者 A选择了 H或者选择了 L,因此，参与者B的策略就要 分别描述这两种情况下自己的行动选择。以策略( L, H)为例，它
14、表示如果参与人 A选择了 L,那么参与人B就选择L,如果参与人A选择了 H,那么参与人B也选择H。3.均衡(1) Nash 均衡根据表13.4的策略式表述，该博弈一共有3个纯策略Nash均衡：L,(L,L)、L,(L, H)和H, (H,L)。其中，L, (L, H)和H, (H,L)并不合理。以H, (H,L)为例，参与人 A之所以选择H, 是因为他相信如果自己选择了L,参与人B将选择H。但是很明显，参与人B的这一 “威胁”并不可信。因为一旦参与人A真的选择了 L,对参与人B来说，最有选择是 L而不是Ho策略组合L, (L, H)同样存在这一问题。只有L, (L, L)是唯一合理的均衡。因此
15、，Nash均衡不能剔除动态博弈中的不可信威胁。为了得到更为合理的均衡，我们需要 更强的均衡概念。(2)子博弈精炼(完备)均衡( Subgame Perfect Equilibrium )定义：一个扩展式博弈的 子博弈由单个决策结x和该决策结的所有后续结(包括终点结)组 成，它不能切割原博弈的信息集。图13.2中的博弈包含3个子博弈一一原博弈本身以及由参与者B的两个决策结点开始的两个子博弈；而图13.1中的博弈仅包含1个子博弈，那就是原博弈本身。定义：如果策略组合在每一个子博弈上都构成 Nash均衡，那么，该策略组合构成子博弈精 炼(完备)均衡。运用逆向归纳法，我们可以剔除不可信威胁，得到子博弈精炼均衡L
