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1、1第十一章 一次函数复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，
2、k0时，y= kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2 函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的性质（
3、1）k的正负决定直线的倾斜方向；k0时，y的值随x值的增大而增大；kO时，y的值随x值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b0时，直线与y轴交于正半轴上；当b0时，直线与y轴交于负半轴上；当b=0时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同（分清4种情况）；（5）k相同，说明直线是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的知识点3 正比例函
4、数y=kx（k0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点必在函数的图象上例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点
5、P（2，1）不在直线y=x+l的图象上知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值（2）由于一次函数y=kx+b（k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数知识点7 用待定系数法确定
6、一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法
7、函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k0）位置的影响当b0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b0时，直线与y轴的负半轴相交当k，b异号时，即-0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-0时，直线与x轴负半轴相交
8、当kO，bO时，图象经过第一、二、三象限；当k0，b=0时，图象经过第一、三象限；当bO，bO时，图象经过第一、三、四象限；当kO，b0时，图象经过第一、二、四象限；当kO，b=0时，图象经过第二、四象限；当bO，bO时，图象经过第二、三、四象限（2）直线y=kx+b（k0）与直线y=kx(k0)的位置关系直线y=kx+b(k0)平行于直线y=kx(k0)当b0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当bO时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k1k2y1与y2相交；y1与
9、y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；y1与y2平行；y1与y2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0基础知识应用题本节
10、基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .老师评
11、一评 研究本题可采用线段图示法，如图1119所示火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 分析 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5（-2）+100=102（）答案：102例5 已知y-3与x成正比例，且x
12、=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .老师评一评 由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，则m的取值范围是（ ）学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值（3）当x
13、=5时，y15+25=25（万元）5年后的产值是25万元例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图1122所示，求函数表达式分析 从图象上可以看出，它与x轴交于点（-1，0），与y轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k为即可例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式分析 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题例8 已知y+a与x+b（a，b
14、为是常数）成正比例（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费04元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费06元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察
15、图象，当x取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且SABP=4，求P点的坐标 例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？例12 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数
