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1、新编高考数学复习资料专题七理科必考部分第1讲空间向量与立体几何1(2013新课标全国)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB，得ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，
2、A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.2(2013辽宁)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值(1)证明由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为
3、BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)解过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在RtABC中，因为AB2，AC1，所以BC.因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故C(，0,0)，C(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为A(0,0,1)，A(，1,0)，设平面ABP的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.由题图可判断二面角为锐角，所以二面角CPBA的余弦值
4、为.3已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值(1)证明因为PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，则(1,1，t)，(1，1,0)所以111(1)(t)00，所以PFFD.(2)解设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由(1)知(1,1，t)，(
5、1，1,0)，则由，得，令z1，则xy.故n是平面PFD的一个法向量设G点坐标为(0,0，m)，因为E，则.要使EG平面PFD，只需n0.即0m1m0，所以mt，从而PA上满足AGAP的点G可使得EG平面PFD.(3)解易知AB平面PAD，所以(1,0,0)是平面PAD的一个法向量又因为PA平面ABCD，所以PBA是PB与平面ABCD所成的角，故PBA45，所以PA1，则平面PFD的一个法向量为n，则cos，n，由题图可判断二面角为锐角故所求二面角APDF的余弦值为.4(2013北京改编)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方 形平面ABC平面AA1C1C，AB3，B
6、C5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在点D，使得ADA1B？若存在，试求出的值(1)证明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面ABC.(2)解在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)取向量n1(0,4,3)，由取向量n2(3,4,0)，cos .由题图可判断二面角A1BC1B1为锐角，故二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)解假设存在点D(x，y，z)是直线BC1上一点，使ADA1B，且.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，(4，33，4)，又ADA1B，03(33)160，则，因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时.
