《高中数学三角函数诱导公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学三角函数诱导公式（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、公式一： 设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2k n+ a )= sin acos (2k n + a)= cosa ( k e Z )tan (2k n + a )= tan acot (2k n + a )= cot a ( k e Z)公式二： 设a为任意角,n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin ( n + a)= sin aCOS (n + a )cosatan (n + a )= tan a cot ( n+ a )= cot a公式三：任意角 a 与 - a的三角函数值之间的关系:sin ( a )= sin acos ( a)= co
2、satan ( a )= tan a cot ( a)= cot a公式四： 利用公式二和公式三可以得到 n - a与a的三角函数值之间的关系:sin ( n a)= sin a cos ( n a )= cosatan ( n a)= tan a cot ( n a )= cot a公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2n -a与a的三角函数值之间的关系:sin ( 2 n a)= sina cos ( 2 n a)= cosatan(2 na)=tan acot(2 n % )=-cota公式六：n /2 土a 及 3n /2 a与a的三角函数值之间的关系：sin(n /2 + a)=c
3、osacos ( n/2 + a)=sinatan(n /2+ a；):=cot acot ( n/2 + a)=tan asin(n /2 a)=cosacos ( n/2 a)=sinatan(n /2 a；):=cot acot ( n/2 a)=tan asin(3 n /2 +a )=cosacos ( 3n /2+ a% )=sin atan(3n /2 +a )=cot acot ( 3n /2+a )=tan asin(3n /2 a )=cosacos ( 3n /2 a )=sin atan(3n /2 a )=cot acot (3n /2a )=tan a（以上k e
4、z ）注意：在做题时，将 a看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于n /2*k a （ k e Z）的三角函数值， 当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变； 当k是奇数时，得到 a相应的余函数值，即 sincos； cossin； tantcot, cotn tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)例如：sin( 2 n - a )= sin (42 n /2- a ), k = 4 为偶数，所以取 sin a。当 a 是锐角时，2n - a ( 270, 360 ) , sin ( 2n - a ) 0
5、,符号为“一”。所以 sin (2 n a ) =-sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 a视为锐角时，角 k2 360 +a ( k Z) , -a、180 土 a , 360 - a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ + ”；第二象限内只有正弦是“ + ”，其余全部是“一”；第三象限内切函数是“ + ” ，弦函数是“一”；第四象限内只有余弦是“ + ” ，其余
6、全部是“一” 上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan a 2 cot a = 1 sina 2 CSCa = 1COS% 2 seca = 1商的关系：sin a /cos% = tan a = seca /cscacosa /sina = cot a = csca /seca平方关系：sinA2 ( a ) + cosA2 ( a )= 11 + tanA2 ( a )= secA2 ( a )1+ cotA2 ( a )= cscA2 ( a )同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)构造以“上弦
7、、中切、下割；左正、右余、中间1 ”的正六边形为模型。(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2 )商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上 的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin ( a + B)= sin a cosB + cos% sinB sin (a p)= sin a cosB cos% sinB cos (a + p )= cosa cos sina sin cos (
8、a p )= cosa cos + sina SinB tan ( a + p ) = ( tan a +tan p )/( 1-tan a tan p )tan ( a p ) = ( tan a tan p)/( 1 + tan a 2 tan p )二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2a = 2sin a cosacos2a = cosA2 ( a) sinA2 ( a )= 2cosA2 ( a) 1 = 1 2sinA2 ( a )tan2 a = 2tan a /1 tanA2 ( a )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sinA2 ( a
9、 /2) = ( 1 cosa )/ 2cosA2 ( a /2) = ( 1 + cosa )/ 2tanA2 ( a /2) = ( 1 cosa )/( 1 + cosa )另也有 tan ( a /2) = ( 1 cosa ) /sin a =sin a / (1+cos a )万能公式sina =2tan ( a /2) /1+tanA2 ( a /2) cosa =1-tanA2 ( a /2) /1+tanA2 ( a /2)tan a =2tan ( a /2) /1-tanA2 ( a /2 )万能公式推导附推导：sin2a =2sina cosa =2sin a cosa
10、 / ( cosA2 ( a ) +sinA2 ( a ) “*,(因为 cosA2 ( a ) +sinA2 ( a ) =1)再把* 分式上下同除 cosA2 ( a )，可得 sin2a = 2tan a / (1+ tanA2 ( a )然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式tan3 a = 3tan a tanA3 ( a ) / 1 3tanA2 ( a )三倍角公式推导附推导：tan3 a = sin3a /cos3a= (sin2 a cosa + cos2a sina ) / (cos2a
11、 cos a -sin2 a sin a )=(2sin a COSA2 ( a )+ COSA2 ( a ) sina sinA3 ( a ) / ( COSA3 ( a ) cosa SinA2 ( a (a ) cosa )上下同除以cosA3 ( a ),得：tan3 a =( 3tan a tanA3 ( a ) / (1-3tanA2 ( a )sin3a = sin ( 2 a +a ) = sin2a cosa + cos2a sina=2sin a cosA2 ( a ) + ( 1 2sinA2 (a ) sin a=2sina 2sinA3 ( a ) + sina 2s
12、inA3(a )=3sin a 4sinA3 ( a )cos3a = cos ( 2 a+ a ) = cos2% cos% sin2a sina=(2cosA2 ( a ) 1 ) cosa 2cOSa SA2 ( a )=2cosA3 ( a ) cosa +( 2coSa 2cosA3 ( a )=4cosA3 ( a ) 3cosa即sin3 a = 3sin a 4sinA3 ( a ) cos3a = 4cosA3 ( a ) 3cosa三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)余弦三倍角：4元3角减3元
13、(减完之后还有“余”)注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。另外的记忆方法：正弦三倍角： 山无司令 (谐音为 三无四立)三指的是“3倍” sina ,无指的是减号，“4倍”，立指的是sina立方余弦三倍角：司令无山与上同理)2sinA2四指的是和差化积公式二角函数的和差化积公式sin a + sin B = 2sin (a + B ) /2 2 cos( a -p ) /2sin a sin p = 2cos ( a+ p) /2 2 sin (a -p ) /2cos a + cosp = 2cos ( a+ P) /2 2 COS ( a - P) /2cos
14、a - cosp =- 2sin ( a + p ) /2 2 sin (a -p ) /2积化和差公式三角函数的积化和差公式sina 2 cosp = 0.5sin ( a+p)+ sin ( a -p)cos a 2 sinp = 0.5sin ( a+p)- sin ( a -p)cos a 2 cosp = 0.5cos ( a+p)+ COS (a -p )sina 2 sin p =- 0.5cos (a+p)- cos ( a- p)和差化积公式推导附推导：首先，我们知道 sin (a+b) =sina*cosb+cosa*sinb, sin (a-b) =sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到 sin (a+b) +sin (a-b) =2sina*cosb所以，sina*cosb= (sin (a+b) +sin (a-b) /2同理，若把两式相减，就得到 cosa*sinb= (sin (a
