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1、word第四章 微分方程模型 当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进展描述、分析、预测或控制了。事实上在微分方程课程中，我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由落下，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。又如“容器内有盐水100L，内含盐10kg,今以3 L/min
2、的速度从一管放进净水，以2 L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。这些问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。而本章要讨论的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进展类比才能给出假设条件。作出不同的假设，就得到不同的方程，所以事先是没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并承受检验。4.1 人口增长模型 人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速开展的同时，世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示：年1625 1
3、830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60可以看出，世界人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进展着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以与如何进展人口控制等。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。用微分方程来研究人口增长规律，根本上采用的是模拟近似的方法。即用某一微分方程来模拟人口的数量，分析该方程的解，将解与实际情况作比照，看其是否在一定程度上刻划了人口的实际增长情况，如
4、刻划得较好或在一段时期内吻合较好就加以利用，否如此就设法加以改良，直至在一定程度上满足我们的要求为止。本节将介绍几个简单的人口增长模型，并利用下面表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据以百万为单位，对模型作检验，最后用它预报2010年美国的人口。年17901800181018201830184018501860人口年18701880189019001910192019301940人口年195019601970198019902000人口表1 美国人口统计数据1、指数增长模型最简单的人口增长模型是人所共知的：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，如此 1显然，这个公式的根本条件是年增长率保持不变
5、。 二百多年前英国人口学家马尔萨斯Malthus,1766-1834调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。模型建立 记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数。为了利用微分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为。假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以。考虑到时间内人口的增量，显然有令，得到满足微分方程 2由这个方程很容易解出 3时3式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。将以年为单位离散化，3式明确，人口以为公比的等比数列增长。因为这时表示年增长率，通常1,所以可用
6、近似关系将3式写作 41式与4式比拟可知，我们常用的预报公式1就是指数增长模型3的离散近似形式。参数估计 3式的参数和可以用表1的数据估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将3式取对数，可得 5以1790年至1900年的数据拟合5式，用MATLAB 软件计算可得， 。以全部数据1790年至2000年拟合5式，得，。结果分析 用上面得到的参数和代入3式，将计算结果与实际数据作比拟。表2中计算人口是用1790年至1900年的数据拟合的结果，计算人口是用全部数据1790年至2000年拟合的结果，图1、图2是它们的图形表示。可以看出，用这个模型根本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入20世纪后
7、，美国人口增长明显变慢，这个模型就不适宜了。年17901800181018201830184018501860实际人口计算人口计算人口年18701880189019001910192019301940实际人口计算人口计算人口年195019601970198019902000实际人口计算人口计算人口表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果图1 指数增长模型拟合图形 1790年至1900年图2 指数增长模型拟合图形 1790年至2000年历史上，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结
8、果。显然，这是因为在这些情况下，模型的根本假设人口增长率是常数大致成立。 但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较小时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，会产生许多新问题，如食物短缺、居住和交通拥挤等，此外，随着人口密度的增加，传染病会增多，死亡率将上升，所有这些都会导致人口增长率的减少。表3是用数值微分见4.5的三点公式计算的美国人口增长率%/年，可以看到，进入20世纪后增长率明显下降。用平均增长率作为，用指数增长模型描述美国人口的
9、变化，结果当然与表1的统计数据相差很大。年17901800181018201830184018501860增长率年18701880189019001910192019301940增长率年195019601970198019902000增长率表3 美国人口增长率%/年所以，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个根本假设。2、阻滞增长模型Logistic模型模型建立 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增长，阻滞作用越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素
10、，对指数增长模型的根本假设进展修改后得到的。阻滞作用表现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。假如将表示为的函数为的线性函数，即 6这里称固有增长率，表示人口很少时理论上是的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入6式得，于是人口增长率函数可以表为 77式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现局部的比例成正比，比例系数为固有增长率。 在7式的假设下指数增长模型2应修改为 88式称为阻滞增长模型，其中方程右端的因子表现人口自身的增长趋势，因子如此表现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，当即时，当即时，也就是
11、当人口数量小于人口容量时，人口将增加，当人口数量超过人口容量时，人口将减少。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。方程8可以用别离变量法求解得到 9图4 Logistic模型xt曲线图3 Logistic模型dx/dtx曲线xmxm/2图3、图4是根据8、9两式画出的和曲线。是一条抛物线，它明确人口增长率随着人口数量的增加而先增后减，在处达到最大值。是一条型曲线，增加得先快后慢，拐点在处，当，即不管开始人口处于什么状态，随着时间的增长，人口总数最终都将趋于人口容量。参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和，将8式表为， 10上式左端可以从表
12、1的数据用数值微分算出，右端对参数，是线性的。我们利用1860年至1990年的数据去掉个别异常数据，用MATLAB 软件计算可得，。参数估计也可以借助专家的经验。例如，某些人口学家估计世界人口的固有增长率=0.029，又世界人口在1960年为29.8亿时，增长率是1.85%，即，于是按方程8，世界人口容量为=82.3亿。实际上，20世纪70年代世界人口为40亿左右时增长率达到最大，然后开始下降。注意到阻滞增长模型中时最大，可以看出上述结果的一致性。结果分析 用上面得到的参数、代入9式得表4和图5。年17901800181018201830184018501860实际人口计算人口年18701880189019001910192019301940实际人口计算人口年19501960197019801990实际人口计算人口表4 阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果图5 阻滞增长模型拟合图形以1790年为起点可以看到，用这个模型拟合时，虽然中间一段19世纪中叶到20世纪中叶不大好。但是最后一段20世纪中叶以后吻合得不错。模型检验 在估计阻滞增长模型的参数时没有用2000年的实际数据，是为了用它作模型检验。我们用模型计算2000年的人口，与的实际数据281.4百万比拟，来检验模型是否适宜。为简单起见，
