等腰三角形 (2)

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1、学科：数学教学内容：等腰三角形新课指南1.知识与技能：（1）经历获得知识的过程，并通过观察、分析、想象、探索，掌握等腰三角形的性质及判定；（2）了解等边三角形的性质和判定等知识的形成过程，培养丰富的想像力，增强审美意识.2.过程与方法：经历探索等腰（边）三角形的性质及判定，探索应用等腰三角形知识解决实际问题，尤其是用轴对称的性质来解释等腰（或等边）三角形的相关性质，进一步体会从一般到特殊，再从特殊到一般的研究事物的辩证方法.3.情感态度与价值观：培养学生合作交流、体验成功、体验审美、增强自信心，同时，充分体会分类讨论数学思想在解决问题中的广泛应用.4.重点与难点；重点是等腰三角形的性质和判定.

2、难点是由轴对称知识来理解和掌握等腰三角形的性质和判定.教材解读 精华要义数学与生活如图1461所示，位于在海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得A=B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？思考讨论 如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA=OB，而已知A=B，能直接由此判断出OA=OB吗？知识详解知识点1 等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图1462所示，在ABC中，若AB=AC，

3、则ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，A叫做顶角，B和C叫做底角.知识点2 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【说明】 等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.例如：如图1463所示，在ABC中，AB=AC.求证B=C.证明：过点A作BC边上的中线AD.BD=DC.在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）.B=C（全等三角形的对应角相等）.探究交流上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形

4、的性质证明出“B=C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？在本题中能否进一步证明AD是BAC的平分线和BD边上的高？试试看.点拨 由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.知识点3 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.例如：图1464所示，在ABC中，B=C.求证AB=AC.证明：作ADBC，垂足为D.ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，RtADBRtADC（AAS）.AB=AC（全等三角形的对应边相等）.知识点4 等边三角形的概念三条边都相等

5、的三角形，叫做等边三角形.知识点5 等边三角形的性质和判定.等边三角形的性质和判定.（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半.典例剖析 师生互动基础知识应用题本节知识的基础应用主要包括：（1）等腰三角形的性质和判定；（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.例1 已知三角形的一个内角是110，求另外两个角的度数.(分析)因为等腰三角形的内角和是180，若110是底角，则1102=220180，所以11

6、0只能是顶角.故底角是=35.解：由题意可知，110是顶角，设底角为，则2+110=180，=35.这个三角形另外两个角是35，35.例2 等腰三角形的一个内角是80，求它的另外两个角.（分析）用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80，则设底角为，由三角形内角和得2+80=180，=50.若底角是80则设项角为，由三角形内角和得280+=180，=20.解：若顶角是80，设底角为，则有2+80=180，=50.若底角是80，设顶角为，则有802+=180，=20。这个等腰三角形的另外两个角是50，50或80，20.学生做一做 （1）若等腰三角形的一个内角为40，则它的顶角为 ；（2）若等腰

7、三角形的两个内角和为100，则它的顶角为 .老师评一评 （1）只告诉一个内角为40，并没有说明是哪一个内角，所以应分两种情况来讨论：若顶角为40，则40+2=180，=70。符合要求，直接填上即可；若底角为40，则顶角为180-240=100，符合要求.应填40或100.（2）已知两个内角的和为100，三角形的内角和为180，所以可知等腰三角形一个内角为180-100=80，同样用分类讨论方法来考虑：若80是顶角，可直接填上即可；若80是底角，则顶角是100-80=20.应填80或20.例3 等腰三角形的底角与顶角的度数之比为21，则顶角为( )A.72B.36C.36或72D.18(分析)

8、设顶角为，则底角为2，由三角形的内角和可知，+22=180，5=180，=36，这个三角形的顶角为36，故正确答案为B项.例4 若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是( )A.21cmB.18cmC.18cm或21cmD.13cm或26cm（分析）由题意可知，8+5+5=18(cm)，故正确答案为B项.学生做一做 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则它的周长为 .老师评一评 题中给出等腰三角形的两边长分别是8和4，但并没有给出哪一个是腰，哪一个是底，要分两种情况：若腰是8，底是4，则另一腰是8，有4+88，满足三角形三边关系，82+4=20；若腰是4，底是8，则

9、另一腰是4，有4+4=8，不满足三角形三边关系，这种情况不存在.这个三角形的周长为20.小结 已知等腰三角形两边，求第三边或周长时，要全面考虑第三边的情况，求出第三边要满足三角形的三边关系，所以上题可以这样考虑：设这个等腰三角形的第三边为x，由三角形三边关系可知，8-4x8+4，即4x12，又因为这个三角形是等腰三角形，所以第三边只能考虑4或8，由4x12，x=8，这个三角形的第三边为8，其周长为82+4=20.例5 如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为. .（分析）设这个三角形的腰长为xcm，则底边长为10-2x=2（5-x）cm.共有4种情况：当x=1

10、cm时，10-2x=8(cm)；当x=2cm时，10-2x=6(cm)；当x=3cm时，10-2x=4(cm)；当x=4cm时，10-2x=2(cm).又由三角形三边关系可知，不满足三角形三边关系.这个三角形的三边有两种；3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm.答案：3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm综合应用题本节知识的综合应用主要包括：（1）等腰（边）三角形的性质和判定的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（3）与三角形全等的综合应用.例6 如图1465所示，在ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求BAC的度数.（分析）本题由已知条件知，图中的三个三角形都是

11、等腰三角形，相等的角或有关系的角较多，为了明确它们之间的关系，这类题往往要设其中一个角为，然后利用将其余的角表示出来.解：AB=AC=CD，AD=DB1=2，B=3，B=C.设B=，则B=3=C=，1=2=3+B=2.在ABC中，B+C+1+3=180，即+2+=180，5=180，=36.BAC=3+1=+2=3=336=108.BAC的度数为108.学生做一做 （1）如图1466所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求B的度数；（1）如图1467所示，已知BD=CD=AC，B=18，求ACB的度数.老师评一评 （1）（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余

12、的角表示出来.（1）AB=AC，BC=CD=AD，B=ACB，2=B，1=A.设1=A=，则2=B=2a，3=B-1=a.在BCD中，B+2+3=180，2+2+=180，5=180，=36，B=2=236=72.（2）BD=CD=AC，1=B，2=A.又2=1+B=2B，B=18，2=218=36.A=36.ACB=180-A-B=180-36-18=126.例7 如图1468所示，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证BE=CE.（分析）本题主要考查等腰三角形的性质和三角形全等的判定.证明：AB=AC，ABC=ACB.又ADBC，ADB=ADC=

13、90.在RtABD和RtACD中，RtABDRtACD（HL）.BAD=CAD（全等三角形的对应角相等）.在ABE和ACE中，ABEACE（SAS）.BE=CE（全等三角形的对应边相等）.例8 如图1469所示，在ABC中，AB=AC，AE是BAC外角DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.（分析）主要考查等腰三角形性质的应用.解：AE与BC的位置关系是AEBC.理由如下：AB=AC，B=C.又DAC=B+C=2C，AE是DAC的平分线；2EAC=DAC，C=EAC，AEBC（内错角相等，两直线平行）.学生做一做 （1）如图1469所示，在ABC中，AB=AC，AEBC.求证AE是BAC的外角DAC的平分线；（2）如图1469所示，在ABC中，AE是BAC的外角DAC的平分线，且AEBC.试判断ABC的形状.老师评一评 本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.（1）AB=AC，B=C.又AEBC，EAC=C（两直线平行，内错角相等），DAE=B（两直线平行，同位角相等）.EAC=DAE.AE是DAC的平分线.（2）ABC是等腰三角形.理由如下：AE是DAC的平分线，DAE=EAC.又AEBC，DAE=B，EAC=C，B=C，AB=AC（等角对等边）.ABC是等腰三