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1、苏 北 四 市 数 学 试 题数学 必做题部分 (本部分满分160分,时间120分钟)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页,均为非选择题(第1题第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。4如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。参考公式:锥体的体积公式:,其中是锥体的底面面积,是高答题卡上1设复数为
2、虚数单位,若为实数,则的值为 2已知集合,且,则实数的值是 3某林场有树苗3000棵,其中松树苗400棵为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的棵数为 开始结束输出SYN(第6题图)4在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和,则的概率是 5已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为 6右图是一个算法流程图,则输出的值是 7函数的定义域为 8若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为 9在中,已知,且的面积为,则边长为 10已知函数,则不等式的解集为 11已知函数的最大值与最小正周期相同,则函数在上的单调增区间为 12设等比数列的前
3、项和为,若成等差数列,且,其中,则的值为 13在平面四边形中,已知,点分别在边上,且,若向量与的夹角为,则的值为 14在平面直角坐标系中,若动点到两直线:和:的距离之和为,则的最大值为 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)已知向量, (1)若,求的值; (2)若,求的值16(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,点分别是棱的中点(1)求证:/平面; (2)若平面平面,求证:PABCFE(第16题图)17(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和
4、延长后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角为(弧度)(1)求关于的函数关系式;(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为,求关于的函数关系式,并求出为何值时,取得最大值? (第17题图)18(本小题满分16分)已知的三个顶点,其外接圆为(1)若直线过点,且被截得的弦长为2,求直线的方程;(2)对于线段上的任意一点,若在以为圆心的圆上都存在不同的两点,使得点是线段的中点,求的半径的取值范围19(本小题满分16分)已知函数(为常
5、数),其图象是曲线(1)当时,求函数的单调减区间;(2)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与同时成立,求实数的取值范围;(3)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由20(本小题满分16分)已知数列满足,是数列 的前项和(1)若数列为等差数列()求数列的通项;()若数列满足,数列满足,试比较数列 前项和与前项和的大小;(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围数 学 试 题 数学 附加题部分注意事项1 本试卷共2页,均为非选择题(第21题第23题,共4题)。本卷满分为40分
6、,考试时间为30分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2 作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(第21(A)图)A(选修41:几何证明选讲)(本小题满分10分)如图,点为锐角的内切圆圆心,过点作直线的垂线,垂足为,圆与边相切于点若,求的度数B(选修42:矩阵与变换)(本小题满分10分)设矩阵(其中),若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线,求的值C(选修44:坐标系与参数方程)(
7、本小题满分10分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的极坐标方程为由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值D(选修45:不等式证明选讲)(本小题满分10分)已知均为正数,证明:【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分10分)某品牌汽车4店经销三种排量的汽车,其中三种排量的汽车依次有,4,3款不同车型某单位计划购买3辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率; (2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数
8、为,求的分布列及数学期望23(本小题满分10分)已知点,动点满足 (1)求动点的轨迹的方程; (2)在直线:上取一点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为问:是否存在点,使得直线/?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案数学部分一、填空题:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题:15(1)由可知,所以,2分所以 6分(2)由可得,即, 10分又,且 ,由可解得,12分PABCFED所以 14分16(1)在中,、分别是、的中点,所以,又平面,平面,所以平面6分(2)在平面内过点作,垂足为因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,8分又平面,所以,10
9、分又,平面,平面,所以平面,12分又平面,所以14分17(1)设扇环的圆心角为q,则,所以,4分 (2) 花坛的面积为7分装饰总费用为, 9分所以花坛的面积与装饰总费用的比, 11分令,则,当且仅当t=18时取等号,此时答:当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大14分(注:对也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)18(1)线段的垂直平分线方程为,线段的垂直平分线方程为,所以外接圆圆心,半径,圆的方程为 4分设圆心到直线的距离为,因为直线被圆截得的弦长为2,所以当直线垂直于轴时,显然符合题意,即为所求;6分当直线不垂直于轴时,设直线方程为,则,解得,综上,直线的方程为或 8分(2)直线的方程
10、为,设,因为点是线段的中点,所以,又都在半径为的圆上,所以即10分因为该关于的方程组有解,即以为圆心,为半径的圆与以为圆心,为半径的圆有公共点,所以,12分又,所以对成立而在0,1上的值域为,10,所以且15分又线段与圆无公共点,所以对成立,即.故圆的半径的取值范围为 16分19(1)当时, . 2分令f (x)0,解得,所以f(x)的单调减区间为 4分 (2) ,由题意知消去,得有唯一解6分令,则,所以在区间,上是增函数,在上是减函数,8分又,故实数的取值范围是 10分(3)设,则点处切线方程为,与曲线:联立方程组,得,即,所以点的横坐标 12分由题意知,若存在常数,使得,则,即存在常数,使
11、得,所以解得, 15分故时,存在常数,使;时,不存在常数,使16分20(1)()因为,所以,即,又,所以, 2分又因为数列成等差数列,所以,即,解得,所以; 4分()因为,所以,其前项和,又因为,5分所以其前项和,所以,7分当或时,;当或时,;当时,9分(2)由知,两式作差,得,10分所以,作差得, 11分所以,当时,;当时,;当时,;当时,;14分因为对任意,恒成立,所以且,所以,解得,故实数的取值范围为16分数学部分21【选做题】A(选修41:几何证明选讲)由圆与边相切于点,得,因为,得,所以四点共圆,所以 5分又, 所以,由,得10分B(选修4-2:矩阵与变换)设曲线上任意一点,在矩阵所对应的变换作用下得到点,则,即 5分又点在曲线上,所以,则为曲线的方程又曲线的方程为,故,因为,所以 10分C(选修4