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1、2. 函数的综合问题知识梳理函数的综合应用重要体目前如下几方面：.函数内容自身的互相综合,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.函数与其她数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考重要考察的内容.3.函数与实际应用问题的综合点击双基1.已知函数f(x)lg(2x）(b为常数)，若1，+)时,f(x)0恒成立，则.1 B.b1 . D.b=1解析:当x1，+)时，f（）0，从而x1,即bx1.而，+）时，2x1单调增长,b21=1.答案：A2（郑州市质检题）若f(x)是R上的减函数，且f（x）的图象通过点A（,)和(3，1），则不等式(x+1）-1|2的
2、解集是_解析:由f(+1）-|2得2f（+1)-12,即-f（x+1）.又f（)是R上的减函数，且f()的图象过点(,3），B(3,-1),（3)f（x+1）0）的关系为A.点P1、2都在l的上方B.点P1、2都在l上C点P1在l的下方，P在l的上方D点、2都在的下方剖析：x=+1=,x=1+=，1=，y2=，11，2x2,1、P2都在l的下方.答案:D【例2】 已知f（x)是R上的偶函数，且f（）=0,（x)是上的奇函数，且对于xR，均有g(x)f（x-1），求f（)的值.解：由（)=f(x-1），xR，得f()=g（x+1）又(-)=f(）,g（x）-g(),故有f()()（+1）=-g（
3、x1)=-f（x2）(-)=-（3-x）g（x3）=（x4),也即f（x4)=f（x)，xf(x）为周期函数,其周期T=4.f（)(450+2)=（)=0.评述:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例】 函数(x）=（m0)，x1、2R,当x1+x21时，f(x1）+(x2）=.（1）求的值;（2)数列a,已知an=f(0）+f（）+f（)+（)+f(1),求an解：（1）由(x1）f()=，得,4+42m=4+m（44)+m2.x1+x2=1，（2)(+4）=(m)2.4+=2-m或2m=.442=2=，而m时m2,+42-.m=2.（2）a=f(0）+f（）（)+f（)(1)，n
4、=（)+（） f（)f(）f（0）.af(0）+f（1）+f()f（)+f（）(0）=+=.an=.深化拓展用函数的思想解决方程、不等式、数列等问题是一重要的思想措施.【例4】函数f(）的定义域为,且对任意x、y，有f（x+y)=（x)+f（y),且当时，(）0，f(1)=2.（）证明f（x)是奇函数；(2)证明f（）在R上是减函数；(3)求f(x）在区间-3，3上的最大值和最小值.（）证明：由f(+y）=f（x）f(),得fx+（x)f(x）+f(-x)，f() f(x）f(）.又f(0）=(0)+（）,f（0）=.从而有f(）+f(-x)=0.f(-x）=（x).f（x)是奇函数.(2）证
5、明：任取x1、xR,且x1x,则f(x1)-f（x）=f（x1）f1(x）=f(x1)f(x1)+f（2-x1）=-f(x2x).由x10.f（xx)0,即f（x1)f（），从而f（x)在上是减函数.(3)解：由于f（)在R上是减函数,故f（x）在,3上的最大值是f(3)，最小值是f（3).由f（)=2，得f（3）=f(12）=（1)+f（2）=f（1)+f(1+)f（1）+f（1)f（)=3f(1）3（2）=-,f（-3)=-（3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.深化拓展对于任意实数、y，定义运算xyax+by+xy，其中、b、c是常数，等式右边的运算是一般的加法和乘法运算.现已知1*=
6、,2*3=4，并且有一种非零实数m,使得对于任意实数，均有x*mx，试求m的值.提示:由1*2=3，2*3=4，得=+2c，a1-6c.又由xm=ax+c=x对于任意实数x恒成立,=2+2c=-1.(-16c)+cm=1.-+m=1.=4答案：4.闯关训练夯实基本1.已知=f（x)在定义域1，3上为单调减函数，值域为，7，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B单调递增且最大值为.单调递减且最大值为3.单调递增且最大值为解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相似的增减性,f-（)的值域是,.答案:C2.(郑州市质检题)有关x的方程|xx3-a=0有三个不相等的实数根
7、，则实数a的值是_解析：作函数y=|x2-4x+3|的图象,如下图.由图象知直线y=1与y|-4x+3|的图象有三个交点,即方程|2-4+3|=1也就是方程|2-4x3|1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案:13若存在常数p,使得函数（)满足f（x）=(p）(xR),则f（x)的一种正周期为_解析：由f(p)=f（p-）,令px=u，f(u)=（u)=（u+），T=或的整数倍.答案:(或的整数倍)4.已知有关的方程inx-2sinx=有实数解,求的取值范畴.解：a=sn2x2six=（ix1)2-1.1si1，0（sinx-1）24a的范畴是,5记函数f（x）=的定义域为A,g(）=g
8、(x-a-)（2ax）（a1)的定义域为B.(1）求A;（2）若B，求实数的取值范畴.解:(1)由20,得0,x0，得(xa1)（xa）0a，a12B=（a,a+1）.BA,2a1或a11,即a或a-2.而1,a1或a-2故当BA时，实数的取值范畴是(,2,）.培养能力6.（理)已知二次函数f(x)=2+xc（b0，cR).若f（x）的定义域为-1,0时,值域也是-1，0，符合上述条件的函数f（x）与否存在？若存在，求出f(x)的体现式;若不存在，请阐明理由.解:设符合条件的f（x）存在,函数图象的对称轴是x-,又b0，-0.当-,即0b1时，函数x-有最小值-1,则或（舍去）.当1-,即b2
9、时，则(舍去）或（舍去）当-1，即2时，函数在-，0上单调递增，则解得 综上所述,符合条件的函数有两个,（x）=x2或f(x）=2+2x(文)已知二次函数f（x）=x2+（b+)x+c（b0，cR).若(x)的定义域为-,0时,值域也是-1,，符合上述条件的函数f（）与否存在?若存在,求出()的体现式；若不存在，请阐明理由.解:函数图象的对称轴是=,又b0,-.设符合条件的（x)存在，当1时，即b时，函数f(x)在1，上单调递增,则 当10，由点到直线的距离公式可知,|M|=,|PN=0,有|PM|N|1，即|PM|PN|为定值,这个值为.（3）由题意可设M（t，），可知N(0，y0).PM与
10、直线y=x垂直，PM1=-，即=1解得t=(xy0）.又y0+，t=0+.SOP,SOP=x02.S四边形OMNOPM+PN=（x0)+.当且仅当x=1时,等号成立.此时四边形OPN的面积有最小值1+.探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一种长方体形无盖容器（切、焊损耗忽视不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(）,在钢板的四个角处各切去一种小正方形,剩余部分围成一种长方体，该长方体的高为小正方形边长,如图(b).(1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;(2）由于上述设计存在缺陷(材料有所挥霍），请你重新设计切、焊措施,使材料挥霍减少,并且所得长方
11、体容器的容积V2V1.解:(1）设切去正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面边长为4x，高为x,V1=（4-2x）2x=4（3x+4x）(00;当x2时，V1V1.故第二种方案符合规定.思悟小结.函数知识可深可浅,复习时应掌握好分寸,如二次函数问题应高度注重,其她如分类讨论、摸索性问题属热点内容，应合适加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的所有过程中,掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.教师下载中心教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想措施，应规定学生纯熟掌握用函数的图象及方程的曲线去解决函数、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】 设(x)是定义在-1,上的奇函数,且对任意
