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1、word量子纠缠导论 某某大学物理系老校友朱德生本文提要：1,量子力学的根本知识；2,量子纠缠的根本理论。量子纠缠现象是量子力学实践中的一项重要成果,也是量子力学区别经典物理学的一个重要标旨。经典物理学不论是经典的力学、热学、统计物理学、光学，电磁理论和引力论，还是爱因斯坦的狭义相对论、广义相对论，都是定域理论。定域理论认为，物质的运动或变化都与时间和空间有不可分割的联系，反映物质运动属性的力学量(位移、速度、加速度、 动量和能量)和时间的关系，都可以通过一定的实验手段进展测量，或者应用理论进展计算，导出物质力学量的属性与时间和空间的关系。而量子力学中却是非定域理论。由于量子力学是非定域理论，
2、因而反映微观粒子的量子力学性质的力学量，不仅与微观粒子本身的性质有关，而且还与量子力学测量方法有关。量子力学的这种特性，使微观粒子运动的力学量与时间和空间的关系，具有不确定性。这种不确定性，来源于微观粒子具有波粒二象性。正因为微观粒子具有波粒二象性，使我们在测量微观粒子的相关的力学量时，它们的测量值会受到测量本身的干扰。这种干扰，在量子力学中的测量中反映为测不准关系。量子力学的测不准关系为 - (1)简写为： - (1)上式(1)中的，是坐标的均方偏差，也即；是动量的均方偏差，也即。而，为普朗克常数。由于量子力学中的微观粒子具有非定域性质，因而在研究量子纠缠现象时，必须了解量子力学的根本知识，
3、从量子力学所特有的非定域性来考虑。只有这样，才能理清发生量子纠缠的粒子之间，出现的一些难易理解的疑难问题。 一，量子力学的根本知识在量子力学中，描写力学量的量子状态常用波函数表示。波函数的具体形式可用下式表示： - (1-1)或用狄拉克矢量符号表示 - (1-2)因为微观粒子具有波粒二象性，受制于测不准关系，不可能同时用微观粒子的坐标和动量确实定值，描写它的量子状态。所以，当微观粒子的量子体系处于某一状态时，它的力学量(坐标、动量等)一般可以有许多可能的值，这些值各自以一定的几率出现。正因为如此，在量子力学中，常用在某一状态出现的几率，描写微观粒子的量子状态的性质。解薛定谔方程或海森伯方程，可
4、求出微观粒子的有关量子状态的波函数。利用所求出的波函数，即可计算出所求力学量的几率设是描写微观粒子状态的波函数，在空间一点和时刻波的强度是(是的共轭复数). 以 表示在时刻,和坐标，的无限小区域内找到微观粒子的几率。那么，除了和这个区域的体积成比例外，还和在这区域内每一点找到微观粒子的几率成比例。按照波函数的统计概率，在这个区域内的某一点找到微观粒子的几率，应与成比。所以 - (1-3) 式中的是比例常数。 利用(1-3) 式，可求出在时刻和点附近单位体积内，找到微观粒子的几率。设为几率密度 - (1-4) 由(4) 式，可得出在有限体积内，在时刻找到微观粒子的几率 - (1-5)如果将将的积
5、分体积，扩大到微观粒子出现的整个区域，在整个区域找到微观粒子的几率，肯定是1。即 - (1-6)由此容易求出常数的表式 - (1-6)事实上,波函数乘上或除上某一常数，其结果只是改变波函数的振幅，并不改变在有限体积内，在时刻找到微观粒子的几率。因而，在量子力学中，为了简化，往往通过将替代 - (1-7)将常数从几率表式中除去。这样在时刻，区域内找到微观粒子的几率可写为 - (1-8)而 - (1-9)在量子力学中，将(1-6)和(1-9)称为归一化条件。将 换成称为归一化。使换成的常数，称为归一化常数。满足关系式(1-9)的波函数，称为归一化波函数。在量子力学中，描写微观粒子量子状态的波函数，
6、还有一个重要的原理：叠加原理。根据叠加原理，假如波函数，是描写微观粒子体系中的几个可能的量子状态的波函数，如此由这些波函数线性叠加所得出的波函数 () - (1-10) 也是这个微观粒子体系中的一个可能的量子状态。为了演算方便和书写简化，在量子力学中，微观粒子的力学量常用算符表示。例如，动量可用算符,或表示 ,， -(1-11) - (1-12)角动量用算符表示 - (1-13)而角动量的分量的算符为 - (1-14)动能用算符表示。 - (1-15)能量的算符为，它又称哈密顿算符。当微观粒子的势能仅是粒子位置到力场中心距离的函数时，能量算符可写成 - (1-16)在量子力学中，将表述微观粒子
7、的状态和力学量的方式，称为表象。微观粒子体系的一个态，既可用以坐标(包含的全部变量,)为变量的波函数来描写，也可用以动量的波函数来描写 - (1-17) - (1-18) 式中的是动量的本征函数，是的共轭复数。 - (1-19) 称是在坐标表象的波函数，而称由(1-17)和(1-18)给出的是同一个态在动量表象中的波函数。 利用坐标表象中的波函数，就可求出处于一个态中所有微观粒子的坐标在到之间的几率 - (1-20) 同样，利用动量表象中的波函数，可求出处于一个态中所有微观粒子的动量到之间的几率 - (1-21)前面说过,解薛定谔方程或海森伯方程，可求出微观粒子的有关量子状态的波函数。 对于自
8、由粒子，它的能量等于它的动能。所以，它和动量满足如下的关系式 - (1-22) 而自由粒子的波函数是平面波，即 - (1-23)因而有 - (1-24) 对二次微分有, , 而 - (1-25) 比拟(24)、(25)两式和应用(22)式，可得到自由粒子的波函数所满足的微分方程 - (1-26) 对于在中心力场中运动的微观粒子，它的能量应是动能和势能之和。所以有 - (1-27)这样，(26)式应改写成 - (1-28) 称(1-28)为波动方程，简称方程。 由于势能与时间无关，方程(1-28)可以简化。设 - (1-29)(1-19)是方程(1-28) 的特解。方程(1-28) 的通解可以表
9、示为许多这样的解之和。将(1-29) 代入(1-28) ：，并用 除等式两边，可得 - (1-30)显然，(1-30)右方是个与时间无关的常数。故可用表示此常数，即或 - (1-31)于是有 - (1-32) 方程(1-31) 的解为将上式代入(1-29)中，并将常数包含到中，最后可得薛定谔方程(28) 的特解 - (1-33)具有(1-33) 形式的波函数所描写的状态，称为定态。在定态中的几率密度与时间无关。方程(1-31)称为定态薛定谔方程。 用乘方程(1-32)两边，且，可得 - (1-34) 用乘方程(1-31)两边，可得 - (1-34) 比拟(1-34) 和(1-34) 知，算符和
10、算符 相当，作用在波函数上，都得到一个一样的数字乘，即。在量子力学中，将这种类型的方程为本征值方程，称为算符的本征值，称为算符的本征函数。在上述介绍的例子中，和这两个算符 的作用一样，同称为能量算符。方程的特点是，各种表象中的波函数，都是时间的函数。例如，在坐标表象中，波函数与时间有关。而算符，等都与时间无关。在量子力学中，将波函数与时间有关，算符与时间无关的表象，称为薛定谔表象；而将另一种表象称为海森伯表象。海森伯表象的特点是：它的波函数与时间无关，而算符与时间有关。下面来说表象与表象之间的联系。用表示表象中的波函数，用表示表象中的波函数。因为表象中的波函数与时间无关，所以，始终等于初始状态
11、的波函数即。至于在时刻,表象中的波函数，可从下面的论述中得出：前面已说过，在表象中描写体系状态的波函数随时间变化的规律,满足方程 - (1-35)于是，知道了初始时刻的波函数后，就可由(1-35)式确定何时刻的。和的这种关系，可简化为 - (1-36)(1-35) 和(1-36) 中的、都是算符。将(1-36) 代入(1-35)得 即 - (1-37) ？ 由式(1-36)知，算符应满足时 - (38)所以，由(1-37)式求出算符后，代入(1-36)式后，即可由求出。 利用式(1-36)，即可求得表象中的波函数，与表象中的波函数之间的关联。 - (1-39)或 - (1-40)是的共轭算符，
12、。在量子力学中，有一种不依赖于坐标系的选取或表象的选取，在任意坐标系中或表象中表示力学量的方法。这种方法是由狄拉克引进的，他用他创造的狄拉克矢量符号表示波函数，并将它称为刃矢，简称刃。假如表示处于第A状态的波函数，如此写成。描写量子的状态，也可用另一种狄拉克矢量符号表示，并将它称为刁矢，简称刁。表示处于第B状态的波函数，可写成。刁在任一量子表象中的分量，是刃在同一量子表象中的共轭复数。一个刃和一个刁的标积：，在量子力学中定义为这两个矢量所对应的分量的乘积之和。是一个数字，且和为共轭复数。即 - (1-41)如果一个状态是算符(或一组相互对易的算符)的本征态(或本征矢)，对应的本征值，我们把表示本征态的刃和刁写为和。假如的
