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1、word1.1 题从1,2,50中找两个数a,b,使其满足1|a-b|=5;2|a-b|5;解:1:由|a-b|=5a-b=5或者a-b=-5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为6,17,250,45,共有45对。当a-b=-5时,两数的序列为1,6,2,745,50也有45对。所以这样的序列有90对。2:由题意知,|a-b|5|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0;由上题知当|a-b|=5时有90对序列。当|a-b|=1时两数的序列有1,2,3,4,2,11,249,50,50,49这样的序列有49*2=98对。当此类推当|a-
2、b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对,当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5205个女生,7个男生进展排列,(a) 假如女生在一起有多少种不同的排列?(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少?解:a可将5个女生看作一个单位,共八个单位进展全排列得到排列数为:8!5!,b用x表示男生,y表示空缺,先将男生放置好,共有8个空缺, Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排
3、列数: C8,57!5!c先取两个男生和3个女生做排列,情况如下: 6. 假如A,B之间存在0个男生,A,B之间共有3个人,所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1假如A,B之间存在1个男生,A,B之间共有4个人,所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2假如A,B之间存在2个男生,A,B之间共有5个人,所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3假如A,B之间存在3个男生,A,B之间共有6个人,所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4假如A,B之间存在4个男生,A,B之间共有7个人,所有的排列应为
4、P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5假如A,B之间存在5个男生,A,B之间共有8个人,所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。1.3题 m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,假如(a)男生不相邻; (b)n个女生形成一个整体; (c)男生A和女生B排在一起;分别讨论有多少种方案。解:(a) 可以考虑插空的方法。n个女生先排成一排,形成n+1个空。因为正好m个男生可以插在n+1个空中,形成不相邻的关系。如此男生不相邻的排列个数为(b) n个女生形成一个整体有n!种可能,把它看作一个整体和m个男生排在一起,如此
5、排列数有(m+1)!种可能。因此,共有种可能。(c)男生A和女生B排在一起,因为男生和女生可以交换位置,因此有2!种可能,A、B组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)!(这里实际上是m+n-2个学生和AB的组合形成的)种可能。共有组合数为1.4题26个英文字母进展排列,求x和y之间有5个字母的排列数解:C24,5*13!1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目,而且没有一样的数字。解:根据题意,千位可以从3,4,5,7,6中选取,个位可以从1,3,5,7,9中选取;因此 2*5*8*7+3*4*8*7=12321.6 题计算,11!+22!+33!+。+nn!解:由序数法公式可知
6、1!+1=2!22!+11!+1=3!33!+22!+11!+1=4!nn!+(n-1)(n-1)!+。+22!+11!+1= (n+1)!所以11!+22!+33!+。+nn!=(n+1)!1.7题试证:被2n除尽。证明:因因为(2n-1)!是整数所以能被2n除尽。18题求和的公因数数目。解:因为它们最大公因子为转化为求最大公因子能除尽的整数个数,能除尽它的整数是根据乘法法如此,能除尽它的数个数为 41*31=1271的正除数的数目是奇数。证明:设有, 如此一定有表达式,如此可知符合X围的和必成对出现,所以为偶数。又当a=b=n时,表达式=ab仍然成立。所以的正除数的数目是“偶数为奇数。1.
7、10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证:对n用归纳法。先证可表示性:当n=0,1时,命题成立。假设对小于n的非负整数,命题成立。对于n,设k!n(k+1)!,即0n-k!kk! 由假设对n-k!,命题成立,设,其中akk-1,,命题成立。再证表示的唯一性:设, 不妨设ajbj,令j=maxi|aibiajj!+aj-1(j-1)!+a11! =bjj!+bj-1(j-1)!+b11!, 矛盾,命题成立。1.11题证明nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.证:所以左边等于右边组合意义:等式左边:n个不同的球,先任取出1个,再从余下的n-1
8、个中取r个;等式右边:n个不同球中任意取出r+1个,并指定其中任意一个为第一个。所以两种方案数一样。1.12题证明等式:证明:1.13题有N个不同的整数,从中间取出两组来,要求第1组的最小数大于另一组的最大数。解题思路:取法由大到小第1步:从N个数由大到小取一个数做为第一组,其它N-1个数为第二组,组合数为:cn,1*c(n-1,1)+c(n-1,2)-+c(n-1,n-1)第2步:从N个数由大到小取两个数做为第一组,其它N-2个数为第二组,组合数为:cn,2*c(n-2,1)+c(n-2,2)-+c(n-2,n-2)第n-2步:从N个数由大到小取n-2个数做为第一组,其它2个数为第二组,组合
9、数为:cn,n-2*c(2,1)第n-1步:从N个数由大到小取n-1个数做为第一组,其它1个数为第二组,组合数为:cn,n-1*c(1,1总的组合数为:1.14 题6个引擎分列两排,要求引擎的点火顺序两排交织开来,试求从特定一引擎开始有多少种方案?解:第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法,第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法,第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法,剩下的每边1个取法固定。所以共有C(3,1)C(2,1)C(2,1)=12种方案。1.15题求1至1000000中0出现的次数。解:当第一位为0时,后面6位组成的数可以从1-100
10、000,共100000个0;当第二位为0时,当第一位取0-9时,后面5位可以取1-9999,此外当第一位取0时,后面5位还可以取为10000,这样共有9999*10+1=99991个0;同理第三位为0时,共有99901个0;第四位为0时,共有99001个0;第五位为0时,共有90001个0;第六位为0时,只有1个0;这样总共的0数为:100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。1.16题n个一样的球放到r个不同的盒子里,且每个盒子里不空的放法。解:如果用“O表示球,用“|表示分界限,就相当于用r-1个“|把n个“O分成r份,要求是每份至少有一个球。如如下图所
11、示: 00|00000000|00000000|00000|000000对于第一个分界限,它有n-1种选择,对于第二个分界限只有n-2个选择,(因为分界限不能相临,如果相临它们之间就没有了球,这不合要求),依次第r-1个分界限只有n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复,重复度为(r-1)!,所以总得放法为:(n-1)*(n-2)*(n-r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。1.18题8个盒子排成一列,5个有标志的球放到盒子中,每盒最多放一个球,要求空盒不相邻,问有多少种排列方案?解:要求空盒不相邻,这样球的位置共有8种。而不同标志的球的排列有。所以共有8*5!种排列。8种排列如
12、下两类。因为要求空盒不相邻,途中1代表球a) 1 1 1 1b) 1 1 1 1在a)中剩下的一个球有四种位置,b)中剩下的一个球也有四种位置,两者合起来一共有8种和都是正整数,而且,试证如下等式:解:(a) 等式成立。(b) 等式成立。(c) 等式成立。(d) (e)利用(d)的结论可证明此题。1.19题n+m位由m个0,n个1组成的符号串,其中nm+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目。解:m个0进展排列,留出m+1个空挡,任选n 个空挡放1,共有C(m+1,n)种方案. 1.21题一个盒子里有7个无区别的白球,5个无区别的黑球,每次从中随机取走一个球,前面取走6个,其中3个是白的,试问
13、取第6个球是白球的概率。解:C6,2*C(5,2)*C(5,3)/C(5,3)C(7,3)C(6,3)=3/141.20 题甲单位有10个男同志,4个女同志,乙单位有15个男同志,10个女同志,由他们产生一个7人的代表团,要求其中甲单位占4人,而且7人中男同志占5人,试问有多少中方案?解:1.甲单位出4个男同志,乙单位出1个男同志,从乙单位出2个女同志 C(10,4)*C(15,1)*C(10,2)=1417502. .甲单位出3个男同志,乙单位出2个男同志,从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。C(10,3)*C(15,2)*C(4.1)*C(10,1)=5040003. .甲单位出2
14、个男同志,乙单位出3个男同志,从甲单位出2个女同志. C(10,2)*C(15,3)*C(4,2)=1228501+2+3即为所求,总的方案数为768600PCAB1.22题求图1-22中从O到P的路经数:(a) 路径必须经过A点; (b) 路径必须过道路AB;(c) 路径必须过A和C (d) 道路AB封锁(但A,B两点开放)解: (a)分两步走O(0,0)A(3,2)A(3,2)P(8,5),根据乘法法如此:(b)分两步走O(0,0)A(3,2),B(4,2)P(8,5),根据乘法法如此:(c)分三步走: O(0,0)A(3,2),A(3,2)C(6,3), C(6,3)P(8,5), 根据乘法法如此: dAB封锁路径数加必经AB路径数即O(0,0)P(8,5)的所有路径数有加法法如此可得:s=1,2,n+1,n2,T=(x,y,z)|x,y,zs, xz, yz,试证