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1、滨江学院毕业论文题目 二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号指导教师吴亚娟职称副教授一四年五月十日目录引言11、二次型的相关定义和定理11.1二次型的定义12、二次型在初等数学中的应用22.1不等式证明22.2多项式的因式分解42.3判断二次曲线的形状63、二次型在几何方面的应用73.1求平面线图形的面积84、多元函数极值方面的应用94.1条件极值94.2无条件极值105、求多元函数积分方面的应用115.1二次型的正交变换115.1重积分的计算125.2求曲面积分136、结束语147、参考文献14二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学
2、 学号：20102314014摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物 理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运 用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代 化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。关键字：极值；几何 ；重积分；引言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之 中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状 和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位
3、。目前在许多相关书籍和教材的 资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越 广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型 最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。1、二次型的相关定义和定理11、二次型的概念和定义在高等代数中涉及的一些相关理论ij设P是一个数域，a., e P，一个系数在数域P中的x ,x ,x的二次齐次多项式:f （x , x，x ）=12n12121213131 n 1 n2 a x x + + 2 a x x +32 n 2 na x 2 + 2a x x + 2a x x +.
4、 + 2a x x ii i+ a x 2nn n+ a x 2 +nn=厶厶 a x xij i ji = 1 j = 1称为数域P上的一个n元二次型，在不影响混淆时简称二次型。在我们讨论二次型时，一定会运用到矩阵，因此要先将二次型用矩阵的线性替换来表示：厂a11a21a12a22a 、1 na2 nan2a丿nn因为a = a，i 5 j = l，n,所以A =A Tjji，出现这种情况都是对称矩阵，所以二次型与对称矩阵是一一对应的。则n元二次型可以用矩阵的乘积表示出来:X t AX = (x , x ,12aaax、1112 1 n1aaax2122 2 n2an 1a2 ann丿xn丿
5、xij=乞乞a xiji 二 1 j 二 1,x )T,那么对称矩阵A我们就简称 n所以 f (x, x,x )= XtAX，此中 X12n为二次型的矩阵。2、二次型在初等数学中的应用2.1 不等式证明在数域P上含有n元x1,3,的二次齐次多项式f (x ,x ，x ) = a x2 + 2a xx +. + 2a xx + a x2 + . + 2a x x +. + a xn也称1 2n11 112 1 21n 1 n 22 22 n 2 nnn n为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。记：(x 厂aaa 111121nxaaaX=2,A =21222 n(a = a ,j = 1,2,
6、，n), ij ji 0。相关不等式证明如下：12n例1三角形三个内角a,b,c，对任意的实数x, y,z都有x2 + y 2 + z 2 2xy cos a + 2xy cos b + 2 yz cose。解 f (x) = XtAX = x2 + y 2 + z 2 一 2xy cosa 一 2xz cosb 一 2 yz cosc其中 x=(x,y,z)T ，1一 cos a - cos b A = 一 cos a 1一 cos cjcos a cos c 1 丿a + b + c =兀,cosc = cos(a + b).厂 1 cos a cos b 、作初等变换得：A =0 sin
7、 a sinb 0 0 0 ,于是a的特征值0,l,sina,由以上定义可知是半正定的，对于任意实数x,y,z则(f x) 0。 即得证。例2求证：7x2 + 2y2 + 4z2 4yz + 2xy 4xz(其中x,y,z不全为零的实数)设二次型 f (x, y, z) = 7x2 + 2y2 + 4z2 4yz 2xy + 4xz矩阵为122因此A各顺序主子式为7127 1二 16 01221 2 224|7| 024 0所以 (f x，y，z) 0 ，即7x2 + 2y2 + 4z2 4yz + 2xy - 4xz 得证。2.2 多项式的因式分解定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次
8、齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的 秩为2和符号差为0 ,或秩等于1。证明 必要性HF a x b x Hb xnnn n 1122(1)若两个一次多项式的系数成比例，即b二ka (i = 1,2,n)，不妨设ai丰0，令ii1y = ax + ax HFa x ,11122n ny = x ,22I y = x .nn则f (x ,x，,x )= ky 2,即二次型f (x ,x ,x )的秩为112n112naa(2)若两个一次多项式的系数不成比例，不妨设尸丰2，令 bb12” y 二axF a x+ -F a x ,11122nny :=bxF b x+ -F b x ,21122nn
9、1 y := x ,33y :=x.nn则 f (x1, x 2,xn )= y1 y 2 再令” y 二zFz,112y= z -z,2121y=z,33、y := z .nn则f (x ,x，,x )= y y = z 2 - z 2，故二次型f (x ,x ,x )的秩为2，符号差为0。12 n 1 21212 n充分性(1)若f (x ,x ,x )的秩为1，则经非退化线性替换使f C ,x，,x )= ky 2,12n12 n 1其中 y = a x F a x F F a x 。故11122n nf (X1, X 2,Xn)=k (ax)2。(2)若f (x ,x ,x )的秩为2
10、，符号差为0，使f (x,x ,x ) = y 2 - y 212n12n12= (yi + 小-y2 )，其中yi, y2均为xi，x2,，的一次齐次多项式，即y = a x + a x + a x , y = b x + b x + b x ,11122n n 21122n n故 f(x , x , x )可表示成两个一次齐次多项式的乘积。12n例3二次型/(xi，x2)= xi2 + 2x2 - 2xiy2 + 4xi + 2x2在实数范围内能否分解。令 g(x ,x ,x ) = x2 + 2x2 一2x y + 4xx + 2x x 贝Uf (x，x )=g (x ,x ,1)1 2
11、 3 1 2 1 2 1 3 2 3, 1 2 1 2求 g(x1, x2, x3) 的秩和符号差对 g(x , x , x ) 作非退化线性替换 123y = x 一 x + 2 x1 123v y = x + 3 x2 23y = x33g(x , x , x ) = y2 + y2 -13y2，的秩为 3，因此 g(x , x , x )不能分解，从而 f (x , x )12312312312也不能分解。例4 因式分解 f(x,y)=x2-3y2+2xy-4y-1解令 f (x, y) = x2 - 3y2 + 2xy 4y 1,贝f (x, y) =g(x, y,1 )对 g(x, y, z)作非退化线性替换：c = x + y1v c =2 y + z3c = z3所以 g(x, y, z) = C2-C2,因此f(x, y)=g (x, y, l)=c2-c2,可见 f (x, y)的秩为2 ,符1 2 1 2号差为0。所以分解因式为(x, y)=g (x, y，1)=C2-C2 = (x + 3y + 1)(x-y-1)。122.3 判断二次曲线的形状平面上，中心坐标原点的有心二次曲线方程的一般形式可写成：ax 2 + 2bxy + cy 2 = d ,那么他就是一个实二元二次型：Q( x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2( 、
