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1、蚌埠市2016年二轮复习 导数的应用（单调性、最值、极值）【高考再现】热点一 利用导数研究函数的单调性1.（2012年高考（辽宁文）函数y=x2x的单调递减区间为（）A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+)2. （2012年高考（浙江理）设a0，b0A若，则ab B若，则abC若，则ab D若，则ab3.（2012年高考（浙江文）已知aR,函数(1)求f(x)的单调区间。(2)证明:当0x1时, 。【解析】(1)由题意得, 当时,恒成立,此时的单调递增区间为. 当时,此时函数的单调递增区间为. (2)由于,当时,. 当时,. 设,则. 则有01-0+1减极小值增1所以. 当时,. 故. 4.
2、（2012年高考（新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.当时,【方法总结】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f (x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性热点二 利用导数研究函数的最值极值5.（2012年高考（陕西理）设函数,则（）A为的极大值点B为的极小
3、值点 C为的极大值点D为的极小值点6.（2012年高考（重庆理）设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值7.（2012年高考（重庆文）已知函数在处取得极值为(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值. 8.（2012年高考（广东文）设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根
4、和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 9.（2012年高考（江西文）已知函数在上单调递减且满足.(1)求的取值范围;(2)设,求在上的最大值和最小值.【解析】(1)由,则 (2)因 当时
5、,在上取得最小值,在上取得最大值; 当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;当时,由, 10.（2012年高考（江苏）若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.【解析】(1)由,得. (3)令,则. 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的
6、根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 11.（2012年高考（湖南理）已知函数=,其中a0.(1)若对一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. ()由题意知, 令则 【方法总结】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并
7、形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.热点三 利用导数研究综合问题12.（2012年高考（天津文）已知函数(I)求函数的单调区间; (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值
8、.13.（2012年高考（陕西文）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围;【解析】（）当 （），14.（2012年高考（天津理）已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.15.（2012年高考（陕西理）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性. 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 【考
9、点剖析】一明确要求二命题方向1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.三规律总结两个注意(1)注意函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(
10、x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件【基础练习】1.(教材习题改编)函数f(x)1xsin x在(0,2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增2(教材习题改编)函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是 ()A9B16C12 D11【名校模拟】一基础扎实1(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )已知向量，满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是 A B C D 2.(2012年云南省第一次统一检测理)函数的极
11、大值等于（A） （B） （C） （D）5.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) （文）) (本题满分13分) 已知函数，.() 当时, 求函数的单调区间；() 当时，若任意给定的,在上总存在两个不同的，使 得成立，求的取值范围6.(河南省郑州市2012届高三第二次质量预测文)已知函数.(I)当时，求在上的最大值和最小值(II)若函数在1, e上为增函数，求正实数a的取值范围.8.(长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)（本题满分12分）已知函数（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。9.(湖北省八校2012届高三第一次联考文)（本小题满分14分）
12、已知二次函数对任意实数均满足 （1）求的表达式； （2）若关于的方程在1，2上有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）设，若成立，求实数m的取值范围。二能力拔高 11.（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）设直线x=t 与函数f（x）=，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1 B. C. D. 13. （湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为 ( )A B C D14.(湖北省八校2012届高三第一次联考文) 函数，其中是常数，其图像是一条直线，称这个函娄为线性函数，而对于非线性可导函数，在
13、已知点附近一点的函数值可以用下面方法求其近似代替值，利用这一方法，对于实数，取的值为4，则m的近似代替值是 。16.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）（本小题满分14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.（1） 当a=-1时，求f（x）的最大值；（2） 若f（x）在区间（0，e上的最大值为-3，求a的值；（3） 当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.17.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）(本小题14分)已知，函数（其中为自然对数的底数） （）求函数在区间上的最小值； （）设数列的通项，是前项和，证明：19.（2012理科数学试卷）(本题满分14分) 设和是函数的两个极值点，其中，() 求的取值范围；() 若，求的最大值注：e是自然对数的底数20.(北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)（本小题共
