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1、浅谈圆锥曲线离心率的求法离心率是圆锥曲线的一个重要性质,是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们知道椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率。因此,求椭圆、双曲线的离心率就成了历年高考的热点。在此结合高考题,介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法,以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律,提高分析问题和解决问题的能力。一、求椭圆和双曲线的离心率e(e=)的值;1. 直接根据条件分别求出a、c,再求解e.例1、(2007安徽文卷)椭圆x2+4y2=1的离心率为( )(A) (B) (C) (D)分析:本题整理出椭圆的标准方程后可直接求出a,c,再利用离心率公式来求解。解:由x2+4y2=1,
2、得a2=1,b2=,从而c2=,故a=1,c=,e=,故选A。 例2、(2013陕西文卷)双曲线的离心率为 . 解: 【点评】此类题比较简单,属于最基础题型。2.根据条件得出关于a、b、c间的一个齐次等式,再求e=.(1)条件直接给出等式求e. 例3、(2007全国文卷)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )(A)(B)(C)(D) 分析:求离心率e关键是将a、b间等式转化为a、c间等式。 解:2a=2(2b),a=2b,又在椭圆中a2=b2+c2,c2=a2.e2=()2=.e=.故 选D. 【点评】此题属于基础题型,考查椭圆中a、b、c间关系式及其求离心率e. (2)在焦
3、点三角形中得出a、b、c间的一个齐次等式,求e.例4、(2008陕西文理卷)双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离线率为( )(A)(B)(C)(D)分析: 求离心率e关键是找a、b、c间一个等式。解:在直角三角形MF2F1中,角MF1F2等于30,|F1F2|=2c,|MF2|=2ctan30=c, |MF1|=2|MF2|=c,又由双曲线定义知道右支上点M满足|MF1|-|MF2|=2a,c=2a,e=.故选B. 例5、(2013全国新课标卷)、设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,则的离心率为(
4、)(A) (B) (C) (D) 解:因为,所以。又,所以,即椭圆的离心率为,选D.【点评】在焦点三角形中,常根据条件将三边用c表示出来,再根据圆锥曲线定义找出a、c间等式求出e。二、求椭圆和双曲线离心率e的取值范围。求解此类题关键是找出关于a、b、c间的一个齐次不等式,从而求出离心率e的取值范围。例6、(2008福建文理卷)双曲线=1(a0,b0)的两个焦点分别是F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )(A)(1,3)(B)(1,3(C)(3,+)(D)3,+)分析:求离心率e的取值范围关键是找a、b、c间一个不等式。解:|PF1|=2|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=4a,|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|F1F2|(利用三角形三边之间关系找出不等式),6a2c,e3, 又双曲线e1,1e3.故选B.【点评】在焦点三角形中,求离心率e的取值范围常利用三角形三边之间关系找出不等式.