《高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.2排列与组合学案理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.2排列与组合学案理（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.2排列与组合 知识梳理1排列与组合的概念2排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(1)0！1；An!(2)CC；CCC4常用结论(1)A(nm1)A；AA；AnA.(2)nAAA；AAmA.(3)1！22！33！nn！(n1)！1.(4)CC；CC；CC.(5)kCnC；CCCCC.
2、诊断自测1概念思辨(1)从1,2,3，9任取两个不同的数，分别填入和式中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题()(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题()(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题()(4)若组合式CC，则xm成立()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A23P18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A720种 B360种 C240种 D120种答案C解析先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A种不同排法，再把两人“松绑”
3、，两人之间有A种排法，因此所求不同排法总数为AA240.故选C.(2)(选修A23P28A组T17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A18 B24 C30 D36答案C解析解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种故选C.解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.故选C.3小题热身(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同
4、学至少有1人参加，那么不同的发言种数为()A840 B720 C600 D30答案B解析由题知可分两种情况第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为CCA480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为CA240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480240720.故选B.(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个答案300解析符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：0排在个位能被5整除的四位数有A(CC)
5、A144个；0排在十、百位，但5必须排在个位有AA(CC)A48个；不含0，但5必须排在个位有A (CC)A108个由分类加法计数原理得所求四位数共有300个题型1排列问题7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有A720种不同的排法(2)甲、乙只能站在两端的排法
6、共有AA240种(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲排头，共有A种不同的排法；乙排尾，共有A种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；故共有A2AA3720种不同的排法(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA1440种(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4
7、个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A2A)A960种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA960种方法(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)AAA3600种解法二：(插空
8、法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有：AA3600种(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有2520种结论探究1若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？解先将其余四个同学排好，有A种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有AA1440种方法结论探究2若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？解7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有AA720种故共有AAA4320种不同的排法结论探究3(1)若将7
9、人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有A5040种不同的排法(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3456360种方法方法技巧1求解有限制条件排列问题的主要方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或
10、特殊位置(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类提醒：(1)分类要全，以免遗漏(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确冲关针对训练(2018北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC26336种不同的摆法题型2组合问题 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其
11、中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C5984种某一种假货不能在内的不同取法有5984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2100种恰有2种假货在内的不同的取法有2100种(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC210045525
12、55种至少有2种假货在内的不同的取法有2555种(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式CC65454556090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法技巧1组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等(2)解题思路：分清问题是否为组合问题；对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题见本例(4)2两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，
13、再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解见本例(2)，(5)冲关针对训练(2018武汉模拟)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种答案D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种)故选D.题型3排列组合的综合应用角度1排列组合的简单应用有五张卡片，它们的正、反面分
14、别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种选法；0可在后两位，有C种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个取1不取0，同上分析可得不同的三位数C22A个0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，共有不同的三位数：CCC22C22AC23A432个解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C23AC22A432个角度2分组分配问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后
